Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 842. feladat (2006. február)

C. 842. Tíznél több egységnyi fakockából egy nagy, tömör kockát építettünk, majd a nagy kocka minden lapját befestettük. Ezután különválasztottuk a többitől azokat a kis kockákat, amelyeknek van befestett lapja. Lehet-e a festett kockák száma többszöröse a festetlen kockák számának?

(5 pont)

A beküldési határidő 2006. március 16-án LEJÁRT.

Megoldás: Ha k3 darab (a feltétel miatt k>2) kiskockából raktuk össze a nagyot, akkor a festetlen kockák száma (k-2)3, a festetteké pedig k3-(k-2)3. Ez utóbbi pontosan akkor többszöröse az előbbinek, ha hányadosuk egész, vagyis

{k^3-(k-2)^3\over(k-2)^3}=\left({k\over k-2}\right)^3-1

egész, ami csak akkor lehet, ha {k\over k-2}=1+{2\over k-2} egész, vagyis ha k=3 vagy 4.

Statisztika:

344 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:221 versenyző.
4 pontot kapott:58 versenyző.
3 pontot kapott:14 versenyző.
2 pontot kapott:11 versenyző.
1 pontot kapott:12 versenyző.
0 pontot kapott:7 versenyző.
Nem versenyszerű:21 dolgozat.

A KöMaL 2006. februári matematika feladatai