A K. 214. feladat (2009. szeptember)

K. 214. Az ABCD négyzet belsejében úgy vesszük fel a P pontot, hogy a PAB és a PCD háromszögek egybevágók legyenek. Mi a megfelelő P pontok halmaza (mértani helye)?

(6 pont)

A beküldési határidő 2009. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a négyzet oldalainak hossza 1. Ha ABP és PCD háromszögek egybevágóak, akkor a területük nagysága is megegyezik. P-nek az AB oldaltól való távolsága d, akkor a CD oldaltól 1-d. A területek \(\displaystyle t_{ABP}=\frac d2\) és \(\displaystyle t_{PCD}=\frac{1-d}{2}\), és a területek egyenlőségéből \(\displaystyle d=\frac 12\). Tehát P a négyzet AB (és CD) oldalával párhuzamos középvonalán helyezkedik el. Az előzőek szerint ezen kívül nem lehet máshol P. Ugyanakkor mivel a középvonal a négyzet egyik szimmetriatengelyére esik, minden pontja jó lesz.

Statisztika:

260 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Bor Julianna, Énekes Tamás, Fehér Máté, Fodor 611 András, Katona 100 Bálint, Kovács Judit Veronika, Nagy 224 Réka, Nagy Zsanett, Pusztaházi 124 Luca Sára, Rácz Kristóf, Simon 808 Kornél, Sztojka Emma Hella, Takács 737 Gábor, Turányi László, Varga 016 Máté.
5 pontot kapott:	40 versenyző.
4 pontot kapott:	14 versenyző.
3 pontot kapott:	24 versenyző.
2 pontot kapott:	47 versenyző.
1 pontot kapott:	85 versenyző.
0 pontot kapott:	33 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2009. szeptemberi matematika feladatai