KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

KöMaL Füzetek 1: Tálalási javaslatok matematika felvételire

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

K. 332. The sum of a few positive integers is 20. Their product is the number X. What is the maximum possible value of X?

(6 points)

This problem is for grade 9 students only.

Deadline expired on 10 April 2012.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Keressük meg azt az összeget, amelyből kapott szorzat a legnagyobb: induljunk ki néhány számból, melyek összege 20, és módosítsuk egy másik lehetséges összegre úgy, hogy a számok szorzata nagyobb legyen, mint amiből kiindultunk.

Ha a számok között szerepel 10 vagy annál nagyobb, akkor ezt a számot helyettesíthetjük legalább 5 db 2-essel (és szükség esetén egy további 3-assal), melyek szorzata legalább 32, vagyis így biztosan nagyobb szorzat keletkezik.

A 10-nél kisebb számok esetén könnyű megvizsgálni, hogy 2-esekkel és 3-asokkal helyettesítve őket az összeg állandóságát figyelembe véve az így kapott szorzat nem lesz kisebb, mint a helyettesítés előtt volt (1+2 -> 3 (\(\displaystyle 1\cdot 2 < 3\)); 4 -> 2+2 (\(\displaystyle 4=2\cdot 2\)); 5 -> 2+3 (\(\displaystyle 5<2\cdot 3\)); 6 -> 2+2+2 v. 3+3 -> 3+3 (\(\displaystyle 6<2^3<3^2\)); 7 -> 1+3+3 v. 2+2+3 -> 2+2+3 (\(\displaystyle 7<3\cdot 3<2^2 \cdot 3\)); 8 -> 2+3+3 (\(\displaystyle 8< 2\cdot 3^2\)); 9 -> 3+3+3 (\(\displaystyle 9<3^3\))). Elég tehát csak a 2-esekből és 3-asokból álló szorzatok maximumát keresni. Ha szerepel 3 kettes a szorzatban, akkor őket két hármassal helyettesítve az összeg nem változik, de a szorzat nagyobb lesz. Így a maximumot akkor kapjuk, ha 6 db 3-asról, és 1 db 2-esről van szó. X maximuma tehát \(\displaystyle 3^6\cdot 2 = 1458\).


Statistics on problem K. 332.
137 students sent a solution.
6 points:65 students.
5 points:9 students.
4 points:13 students.
3 points:5 students.
2 points:29 students.
1 point:10 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2012

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley