A KöMaL 2013. áprilisi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Feladat típusok elrejtése/megmutatása:

C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2013. május 10-én LEJÁRT.

C. 1165. Hány olyan hétjegyű természetes szám van, amelyben a számjegyek balról jobbra haladva monoton növekednek (pl. 2444689)?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1166. Melyik az a p prím, mely néggyel nagyobb az n egész szám négyzeténél és kétszerese eggyel kisebb az n köbénél?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1167. Az ABC háromszög AA₁, BB₁, CC₁ szögfelező szakaszainak végpontján át húzzunk párhuzamosokat a szöget alkotó két oldalegyenessel. Igazoljuk, hogy az így kapott hat egyenes háromszögbe eső szakaszhosszainak összege nem lehet nagyobb a háromszög kerületénél.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1168. Igazoljuk, hogy

$a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}\le 1.$

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1169. Egy gömb átmérője, egy egyenlő oldalú henger magassága és egy kúp alapkörének átmérője egyaránt d. Mekkora lehet a kúp magassága, ha a három test térfogata valamilyen sorrendben egy számtani sorozat három egymást követő eleme?

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2013. május 10-én LEJÁRT.

B. 4532. Adott egy n×n-es táblázat, amelyben megjelöltünk n-1 mezőt. Egy lépés során felcserélhetünk két sort vagy két oszlopot. El lehet-e mindig érni ilyen lépésekkel, hogy az összes megjelölt mező a főátló alatt legyen? (A főátló a táblázat bal felső és jobb alsó sarkát köti össze.)

Matlap, Kolozsvár)

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4533. Van-e olyan pozitív egész, ami teljes hatvány, és a tízes számrendszerbeli alakjában minden számjegy 0 vagy 6?

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4534. Az ABC háromszög leghosszabb, AB oldalán levő M és N pontokra teljesül, hogy BM=BC és AN=AC. Az M ponton át a BC oldallal húzott párhuzamos az AC oldalt P-ben, az N ponton át az AC oldallal húzott párhuzamos a BC oldalt Q-ban metszi. Bizonyítsuk be, hogy CP=CQ.

(Kvant)

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4535. Oldjuk meg az

(x²-x-1)²-x³=5

egyenletet.

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4536. Adott az ABC háromszög és síkjában a P pont. E pontnak a háromszög magasságvonalaira eső merőleges vetületei A₁, B₁ és C₁. Határozzuk meg P-t, ha AA₁=BB₁=CC₁, és adjuk meg e szakaszok közös hosszát.

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4537. Egy 20×20-as négyzetben elhelyeztünk 200 darab egységszakaszt. Bizonyítsuk be, hogy létezik a négyzetben olyan egység átmérőjű körlap, amelynek egyik egységszakasszal sincs közös pontja.

(Kárpátaljai versenyfeladat)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4538. Az $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ függvényre teljesül, hogy

(x-2)f(x)-(x+1)f(x-1)=3.

Határozzuk meg f(2013) értékét, ha f(2)=5.

(Matlap, Kolozsvár)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4539. Az ABC háromszög súlypontja S, köréírt körének középpontja K. A BCS, CAS és ABS háromszögek köré írt körök középpontjai P, Q és R. Bizonyítsuk be, hogy a PQR háromszög súlypontja K.

Javasolta: Sárosdi Zsombor (Veresegyház)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4540. Egy börtönben n rab tartózkodik. Az unatkozó börtönőrök azt találják ki, hogy az udvaron mindegyik rab fejére piros vagy kék sapkát tesznek úgy, hogy senki se lássa, a saját fejére milyen színű kerül. Miután a rabok jól megnézték egymást (minden rab a sajátján kívül az összes többi rab sapkáját látja), mindegyiküknek le kell írnia egy-egy lapra, hogy milyen színű sapka van a fején. Aki helyesen tippel, azt másnap is kiengedik az udvarra. Melyik az a legnagyobb k szám, amelyre létezik a raboknak olyan stratégiája, amelyet követve legalább k rab biztosan kimehet másnap az udvarra?

(6 pont)

megoldás, statisztika

B. 4541. Legyen $\mathcal K$ az (1;1;1), (2;4;8), ..., (100;100²;100³) koordinátájú pontok konvex burka. Hány csúcsa, éle és lapja van $\mathcal K$ -nak?

(6 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2013. május 10-én LEJÁRT.

A. 587. Határozzuk meg azokat a pozitív egész n számokat, amelyekhez léteznek olyan $a_1<a_2<\ldots <a_n$ pozitív egészek, amelyekre az a_i+a_j alakú összegek (1 $\le$ i<j $\le$ n) különbözők, és modulo 4 osztási maradékaik között mindegyik maradék ugyanannyiszor fordul elő.

Javasolta: Ilya Bogdanov (Moszkva)

(5 pont)

statisztika

A. 588. Legyen a pozitív egész. Bizonyítsuk be, hogy 7a²(a+1)-1 minden prímosztója 7k $\pm$ 1 alakú.

(5 pont)

megoldás, statisztika

A. 589. Van-e olyan konvex poliéder, amely belefér egy egységnyi sugarú gömbbe, legalább 2013 csúcsa van, nincs 1/2-nél rövidebb éle, és lapjai között nincs háromszög?

(5 pont)

megoldás, statisztika

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:

megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?