A KöMaL 2023. szeptemberi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
K-jelű feladatokA beküldési határidő 2023. október 10-én LEJÁRT. |
K. 774. Egy vonat állandó sebességgel halad át egy alagúton. 20 másodpercig tart, amíg a 300 m hosszú alagúton átér, onnantól, hogy az eleje eléri az alagút elejét, addig, amíg a vége el nem hagyja. Egy lámpa az alagútban pont 5 másodpercen át van a vonat felett. Milyen hosszú a vonat?
(5 pont)
K. 775. Egy cukrász két 2 cm, egy 6 cm és egy 8 cm oldalélű marcipánkocka összeragasztásával egy nagyobb testet épített úgy, hogy egy-egy illesztésnél az egyik marcipánkocka teljes oldala ráfeküdt a másik kocka egy lapjára. A kész testből kivághatunk magunknak egy téglatestet, de csak olyan sík mentén vághatunk, amely illeszkedik valamelyik kocka lapjára. Mekkora a legnagyobb térfogatú marcipántégla, amit így kaphatunk?
(5 pont)
K. 776. Egy rendezvényre sorszámozott jegyeket rendeltek egy nyomdától. Ezek előállítása úgy történik, hogy a jegyek a kinyomtatás után bekerülnek egy sorszámozó gépbe, amely minden jegyre egyedi sorszámot nyom, mindig 1-gyel növelve az aktuálisan nyomandó sorszámot. A nyomda elkészítette a megrendelt darabszámnak megfelelően a sorszámozatlan jegyeket, azonban a sorszámozó gép a meghibásodása miatt minden 3-mal osztható sorszámot kétszer adott ki egymás után. A megrendelt jegyekre a sorszámokhoz így összesen 3672 számjegyet használtak el (a sorszámozás 1-gyel kezdődött). A gép megjavítása után hány jegyet kell újra sorszámozni a most már hibátlanul sorszámozó géppel?
(5 pont)
 |
K/C-jelű feladatokA beküldési határidő 2023. október 10-én LEJÁRT. |
K/C. 777. Az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) számok számtani közepe 10, a \(\displaystyle b\) és a 10 számtani közepe \(\displaystyle c\)/2. Mennyi az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle c\) számok számtani közepe?
(5 pont)
K/C. 778. Egy téglalapot az oldalaival párhuzamos egyenesekkel kilenc kis téglalapra bontottunk az ábrán látható módon. A megadott öt téglalapnak ismerjük a területét, a többinek nem. Határozzuk meg a négy téglalap területét.. (Az ábra csak illusztráció, a méretek nem feltétlenül helyesek.)
(5 pont)
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2023. október 10-én LEJÁRT. |
C. 1773. Határozzuk meg a \(\displaystyle p\) egész szám értékét úgy, hogy a \(\displaystyle (p-3)x+p+5=(2-p)x\) egyenlet \(\displaystyle x\) valós megoldásának értéke legalább \(\displaystyle 2\) legyen. Adjuk meg minden lehetséges \(\displaystyle p\) értékre az egyenlet megoldását.
Javasolta: Bíró Bálint, Eger
(5 pont)
C. 1774. Az \(\displaystyle ABCD\) trapézban \(\displaystyle AB\parallel{CD}\). Az \(\displaystyle AB\), illetve \(\displaystyle CD\) oldal felezőpontja \(\displaystyle E\), illetve \(\displaystyle F\). Az \(\displaystyle AC\) átlót a \(\displaystyle DE\), \(\displaystyle DB\) és \(\displaystyle FB\) szakasz rendre a \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\), \(\displaystyle R\) pontban metszi.
Igazoljuk, hogy \(\displaystyle \displaystyle{\frac{CP}{PA}\cdot{\frac{CQ}{QA}}\cdot{\frac{CR}{RA}}=\Bigg(\frac{CD}{AB}\Bigg)^3}\).
Javasolta: Bíró Bálint, Eger
(5 pont)
C. 1775. Az \(\displaystyle ABCD\) téglalap egy belső pontja \(\displaystyle P\). Határozzuk meg a \(\displaystyle PC\) szakasz hosszát, ha tudjuk, hogy \(\displaystyle PA=4\), \(\displaystyle PB=6\) és \(\displaystyle PD=9\).
(vietnami feladat)
(5 pont)
C. 1776. Egy természetes számnak pontosan \(\displaystyle 2023\) pozitív osztója van. Hány pozitív osztója lehet a négyzetének?
Javasolta: Kozma Katalin Abigél, Győr
(5 pont)
C. 1777. Egy derékszögű háromszög befogói \(\displaystyle 36\) cm és \(\displaystyle 77\) cm hosszúságúak. A hosszabb befogóhoz tartozó belső szögfelezőnek milyen hosszúságú része nem esik a beírt kör belsejébe?
Javasolta: Bíró Bálint, Eger
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2023. október 10-én LEJÁRT. |
B. 5326. Egy angol-magyar találkozó végén minden résztvevő elköszönt mindegyik másik résztvevőtől: az angolok mindenkinek egyesével ezt mondták: ,,Goodbye!'', míg a magyarok ezt: ,,Viszlát!'' Hányan vettek részt az egyes nemzetek képviseletében, ha 198-szor hangzott el az, hogy ,,Goodbye!'' és 308-szor az, hogy ,,Viszlát!''?
Javasolta: Hujter Bálint, Budapest
(3 pont)
B. 5327. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög magasságai \(\displaystyle m_a\), \(\displaystyle m_b\) és \(\displaystyle m_c\). Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle m_a\), \(\displaystyle m_b\) és \(\displaystyle m_c\) oldalakkal szerkeszthető háromszög, és ennek a háromszögnek a magasságai \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) és \(\displaystyle z\). Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) és \(\displaystyle z\) oldalakkal is szerkeszthető háromszög.
Javasolta: Vigh Viktor, Sándorfalva
(4 pont)
B. 5328. Egy füzet első lapjára leírtuk a 2023 számot. Ezután a következő lapra mindig az előzőn lévő számok pozitív osztóit írjuk le (mindegyiket annyiszor, ahány számnak osztója az előző lapról). Hány szám lesz a 4. lapon?
Javasolta: Pach Péter Pál, Budapest
(3 pont)
B. 5329. Egy szabályos dobókockával dobunk, a játék akkor ér véget, ha 1-est dobunk vagy úgy döntünk, hogy megállunk. A nyeremény az utolsó dobás értéke. Van-e olyan stratégia, amellyel elérhető, hogy a nyeremény várható értéke legalább 4 legyen?
Javasolta: Pach Péter Pál, Budapest
(4 pont)
B. 5330. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle a,b,c\) primitív pitagoraszi számhármas, vagyis \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) olyan relatív prím pozitív egészek, amelyekre \(\displaystyle a^2+b^2=c^2\) teljesül. Mutassunk példát olyan tengelyesen szimmetrikus sokszögre, amely felbontható \(\displaystyle c\) darab \(\displaystyle a,b,c\) oldalú derékszögű háromszögre.
Javasolta: Kós Géza, Budapest
(5 pont)
B. 5331. Mutassuk meg, hogy az egységnyi élhosszúságú szabályos tetraéder lefedhető kettő darab, egységnyi átmérőjű gömbbel.
Javasolta: Vigh Viktor, Sándorfalva
(5 pont)
B. 5332. Milyen \(\displaystyle n\) pozitív egész számokra teljesül, hogy bármely \(\displaystyle 2^n\) egymást követő pozitív egész szám között van olyan, amely felírható legfeljebb \(\displaystyle n\) darab nemnegatív egész szám \(\displaystyle n\)-edik hatványának összegeként?
Javasolta: Pach Péter Pál, Budapest
(6 pont)
B. 5333. A hegyesszögű \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle A\) csúcshoz tartozó magasságának talppontja \(\displaystyle T_A\). Az \(\displaystyle A\) csúcsból a körülírt kör \(\displaystyle O\) középpontján át húzott félegyenes a \(\displaystyle BC\) oldalt az \(\displaystyle R_A\) pontban metszi. Az \(\displaystyle AR_A\) szakasz felezőpontja legyen az \(\displaystyle F_A\) pont. A \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) csúcsokból kiindulva ugyanígy képezzük a \(\displaystyle T_B\), \(\displaystyle R_B\), \(\displaystyle F_B\), \(\displaystyle T_C\), \(\displaystyle R_C\), \(\displaystyle F_C\) pontokat. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle T_AF_A\), \(\displaystyle T_BF_B\) és \(\displaystyle T_CF_C\) egyenesek egy pontban metszik egymást.
Javasolta: Simon László Bence, Budapest
(6 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2023. október 10-én LEJÁRT. |
A. 857. Adott az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszög, melynek leghosszabb oldala \(\displaystyle BC\). Legyen a háromszög magasságpontja \(\displaystyle H\), a \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) csúcsaiból induló magasságok talppontjai rendre \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\), továbbá az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle AC\) oldalak felezőpontjai rendre \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle G\). A \(\displaystyle DF\) és \(\displaystyle EG\) egyenesek egymást az \(\displaystyle X\) pontban metszik. Legyen az \(\displaystyle EFX\), illetve \(\displaystyle DGX\) háromszögek köréírt köreinek középpontja rendre \(\displaystyle O_1\) és \(\displaystyle O_2\), az \(\displaystyle O_1O_2\) szakasz felezőpontja pedig \(\displaystyle M\). Igazoljuk, hogy \(\displaystyle X\), \(\displaystyle H\), \(\displaystyle M\) egy egyenesre esnek.
Javasolta: Varga Boldizsár (Verőce)
(7 pont)
A. 858. Igazoljuk, hogy a következő egyenletrendszernek nincs más megoldása az egész számok körében, csak \(\displaystyle u=v=x=y=z=0\):
$$\begin{align*} uv & =x^2-5y^2,\\ (u+v)(u+2v) & =x^2-5z^2. \end{align*}$$Javasolta: Szabó Barnabás (Budapest)
(7 pont)
A. 859. Adott egy \(\displaystyle n\) csúcsú \(\displaystyle U\) útgráf, melynek az egyik csúcsában egy bekötött szemű játékos tartózkodik. Az út csúcsai meg vannak számozva \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle n\)-ig a természetes számokkal, nem feltétlenül a szokásos sorrendben. Egy lépésben a játékvezető elárulja a bekötött szemű játékosnak, hogy \(\displaystyle 1\)- vagy \(\displaystyle 2\)-fokú csúcsban van. Ha \(\displaystyle 1\)-fokú csúcsban van, akkor csak az egyetlen szomszédjába léphet, \(\displaystyle 2\)-fokú csúcs esetén pedig a játékos eldöntheti, hogy a kisebb vagy nagyobb sorszámú szomszédba szeretne lépni. A játékos összes információja \(\displaystyle k\) lépés után a \(\displaystyle k\) darab fokszám, amit elárultak neki, és emlékszik a saját választásaira is. Van-e olyan stratégiája a játékosnak, amellyel biztosan meg tudja állapítani véges sok lépésen belül, hogy hány csúcsa van az útnak?
Javasolta: Németh Márton (Budapest)
(7 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)