KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2011. februári matematika feladatai

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2011. március 10-én LEJÁRT.

A. 527. Határozzuk meg azokat a p valós számokat, amelyekre az

x3+3px2+(4p-1)x+p=0

egyenletnek van két olyan valós gyöke, amelyek különbsége 1.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

A. 528. Legyenek a, b és n pozitív egész számok, C pedig véges számhalmaz. Tegyük fel, hogy minden pozitív egész szám felírható axn+byn+c alakban, ahol x és y pozitív egészek és c\inC. Határozzuk meg n lehetséges értékeit.

Javasolta: Kutas Péter (Budapest)

(5 pont)

Statisztika

A. 529. Adott a síkon egy k kör és k egy AB húrja, valamint az AB szakasz négy további belső pontja: C, D, E és F. Rajzoljuk meg a C ponton át a k kör egy tetszőleges X1X2 húrját, a D ponton keresztül az Y1Y2 húrt, a E ponton keresztül az U1U2 húrt, végül a F ponton keresztül a V1V2 húrt úgy, hogy X1, Y1, U1 és V1 az AB egyenesnek ugyanazon az oldalán legyenek, és


\frac{AX_1\cdot BX_2}{X_1X_2} =\frac{AY_2\cdot BY_1}{Y_1Y_2} =\frac{AU_1\cdot
BU_2}{U_1U_2} =\frac{AV_2\cdot BV_1}{V_1V_2}

teljesüljön. Legyen az X1X2 és Y1Y2 egyenesek metszéspontja Z, az U1U2 és V1V2 egyenesek metszéspontja pedig W. Mutassuk meg, hogy az ilyen módon kapható ZW egyenesek egy ponton mennek át, vagy pedig párhuzamosak egymással.

(5 pont)

Statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2011. március 10-én LEJÁRT.

B. 4332. A dobókocka lapjainak helyes számozása esetén bármely lap szomszédaira írt számok összege egyenlő. Meg lehet-e hasonló módon számozni a dobódodekaéder lapjait 1-től 12-ig?

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4333. Egy háromszög két oldalának hossza 12 és 18. Egy másik, ehhez hasonló, de vele nem egybevágó háromszög két oldalának hossza ugyancsak 12 és 18. Határozzuk meg a háromszögek harmadik oldalainak hosszát.

Javasolta: Besenyei Ádám (Budapest)

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4334. Adott egy egyenes és rajta egy pont. Nevezzük Z-nek az egyenes azon pontjainak halmazát, amelyeknek ettől a ponttól vett távolsága egész. Mutassuk meg, hogy Z-nek bármely H háromelemű részhalmaza esetén Z felbontható H-val egybevágó részhalmazokra.

Javasolta: Bodor Bertalan és Éles András (Budapest)

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4335. Két, egymást a B és C pontokban metsző kört egy egyenes az A1 és A2 pontokban érint. Bizonyítsuk be, hogy


\frac{A_1B}{A_1C} = \frac{A_2B}{A_2C}.

Javasolta: Mester Márton (Szeged)

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4336. Az ABCD parallelogramma AB és BC oldalára kifelé szabályos háromszöget szerkesztünk, ezek harmadik csúcsa E, illetve F. Mutassuk meg, hogy a CED és AFD szögek összege 60o.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4337. Határozzuk meg azokat a p valós számokat, amelyekre az

x3-7x+p=0

egyenletnek van két olyan valós gyöke, amelyek különbsége 1.

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4338. Egy kör kerületén egymástól függetlenül, véletlenszerűen felvesszük az A, B, C és D pontokat. Mi annak a valószínűsége, hogy az AB és a CD húrok metszik egymást?

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4339. Igaz-e, hogy az ABCD szabályos tetraéder tetszőleges P belső pontjára fennáll a

PA+PB+PC<DA+DB+DC

egyenlőtlenség?

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4340. Igazoljuk, hogy tetszőleges a1,a2,...,an pozitív számokra fennáll a következő egyenlőtlenség:


\left(\frac{a_1}{a_2+\ldots+a_n}\right)^{\!\!2}+\left(\frac{a_2}{a_3+\ldots+a_1}\right)^{\!\!2}+\ldots
+ \left(\frac{a_n}{a_1+\ldots+a_{n-1}}\right)^{\!\!2}\ge \frac{n}{{(n-1)}^2}.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4341. Keressük meg az összes olyan valós együtthatós polinomokból álló f(x), g(x) párt, amelyre

f(x+1)g(x-1)-g(x+1)f(x-1)=1.

(5 pont)

Megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2011. március 10-én LEJÁRT.

C. 1065. Oldjuk meg a \sqrt{x+a_n}=x-a_n egyenletet, ha a_n=\frac{n(n+1)}{2}, ahol n pozitív egész szám.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 1066. Egy ötszög négy belső szöge 120o-os. Az ezekkel a szögekkel szemközti, egymáshoz csatlakozó négy oldal hossza sorban: 2, 8, 5, 5. Milyen hosszú az ötödik oldal?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 1067. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a valós számok halmazán:

|x-1|+|x+y|=6,

|y-1|+|x+y+1|=4.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 1068. Egy céltábla 18 mezőjét három koncentrikus kör és a középponton átmenő három szakasz határolja az ábra szerint. Az azonos számmal jelölt mezők területe megegyezik, a 2-es területe fele a 3-asnak. Hányszorosa a 4-es mező területe az 1-esnek?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 1069. Négyzetekből készült a következő ábrasorozat, melynek az első három elemét lerajzoltuk:

Szakkörön azt a feladatot kapták a tanulók, hogy a sorszám függvényében adják meg az ábrákon látható négyzetek számát. A következő ötletek születtek:

a) {(2n-1)}^2-4\cdot\frac{n(n-1)}{2},

b) 1+(n-1).4,

c) 1+(1+2+...+(n-1)).4,

d) (n-1)2+n2.

Melyik ötlet ad jó eredményt?

(5 pont)

Megoldás, statisztika


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2011. március 10-én LEJÁRT.

K. 283. Egy csapatversenyen hatfős csapatokban versenyeznek a diákok. A csapatok összeállítása tetszőleges, de két feltételnek eleget kell tenni:

1. minden csapatban legalább két lánynak, és legalább két fiúnak kell lennie,

2. minden csapatban legalább két hetedikesnek és legalább két nyolcadikosnak kell lennie.

Egy három hetedikes lányból, négy nyolcadikos fiúból és két nyolcadikos lányból álló baráti társaság hányféle, a feltételeknek megfelelő csapatot nevezhet?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 284. Egy egységnyi befogójú egyenlő szárú derékszögű háromszöget az átfogójára merőleges vágással egy deltoidra és egy háromszögre vágunk. Hány százaléka a deltoid területe az eredeti háromszög területének?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 285. Az \overline{abcabc} és az \overline{ababab} hatjegyű számok aránya 55:54. Határozzuk meg az a, b, c számjegyek értékét.

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 286. Egy 3×3-as tábla minden mezőjére ráállítottunk egy törpét. A 9 mezőre összesen 2 hazudós, és 7 igazmondó törpe került. Az igazmondó törpék mindig igazat mondanak, a hazudós törpék pedig sosem mondanak igazat. Megkérdeztünk minden törpét, hogy az ő mezőjével oldalban szomszédos mezőkön összesen hány igazmondó törpe áll, és az alábbi válaszokat kaptuk (a könnyebb kezelhetőség érdekében betűkkel és számokkal jelöljük a tábla sorait és oszlopait):

Hol helyezkedhetnek el a hazudós törpék a táblán?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 287. Anna születésnapi tortáját egy tized kilogrammra kerekítő digitális mérlegen 3,4 kg-nak mérte nagymamája, mielőtt marcipán figurákkal díszítette volna. Miután a tortára felkerült annyi, egész dkg tömegű, de a mérleg szerint egyenként 0,1 kg-os egyforma marcipánfigura, ahány éves Anna, a torta tömege 3,6 kg-ra változott a mérleg szerint. Hány éves lehet Anna, és hány dkg-osak lehetnek a marcipánfigurák?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 288. Egy dominókészletet szeretnénk készíteni szabályos háromszög alakú dominókból. A háromszögek minden csúcsába egy-egy 0-tól 5-ig terjedő egész számot írunk. Ha egy dominóra három különböző szám kerül, akkor ezeket nagyság szerint növekvő sorrendben, az óramutató járásának megfelelő irányban helyezzük el. Hány darabból áll egy ilyen dominókészlet? (A dominókra kerülhet három ugyanolyan szám, vagy két ugyanolyan és egy tőlük különböző szám is.)

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;

  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:

      KöMaL Szerkesztőség
      Budapest 112, Pf. 32.  1518.

    (Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley