KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Kúpszelet-történelem

A kúpszeletek kb. 2350 éves történelmében sok ismert névvel találkozhatunk. Róluk (is) olvashatunk a következőkben.


Menaikhmosz (i.e. 350 körül)

A híres matematikus, Eudoxosz (i.e. 400?-347?) volt a mestere. Testvére, Deinosztratosz a kör négyszögesítésével örökítette meg nevét. Menaikhmosz egy másik híres problémával foglalkozott: a kockakettőzéssel. Másodállásban Nagy Sándor egyik nevelője volt. Proklosz szerint Menaikhmosz jelentősen továbbfejlesztette a geometriát, munkái azonban nem maradtak fenn, így ,,csak'' a kúpszeletek felfedezését tudhatjuk övének.

A forgáskúpokat nyílásszögük alapján három csoportra osztotta: tompaszögű, derékszögű és hegyesszögű kúpokra. Mindegyiket olyan síkkal metszette, ami merőleges valamelyik alkotóra. Így nyerte sorban a hiperbola, parabola, ellipszis síkmetszeteket. Ezeknek a nevét is a kúpok után hegyesszögű, derékszögű és tompaszögű kúp síkmetszetének nevezte. Ennek a három kúpszeletnek néhány tulajdonságát, sőt a szümptómáját, azaz ,,egyenletét'' is meghatározta.

Eukleidesz (i.e. 365?-300?)

A nagy rendszerező matematikus természetesen foglalkozott kúpszeletekkel, könyvet is írt a témában, ami azonban elveszett.

Alapvető művében, a Sztoikheia II. kötetében geometriai algebrával foglalkozik. Számunkra ez azért fontos, mert olyan feladatokkal foglalkozik, amelyek később fontos szerepet fognak játszani a kúpszeletek elnevezésében.

Szürakuszai Arkhimédész (i.e. 287-212)

Több művében is foglalkozik kúpszeletekkel, amiket ugyanúgy származtat, mint Menaikhmosz. Az Erathosztenészhez írt levele, a Módszer fontos matematikai eredményeit tartalmazza. Számunkra legfontosabb fejezete ennek A parabola kvadratúrájáról szóló, amiben egy parabolaszelet területét számolja ki Arkhimédész. A tanulmány több szempontból is figyelemre méltó. Egyrészt Eudoxosz ,,kimerítéses módszerét'' alkalmazza a lehető legfinomabb és legprecízebb módon, másrészről a végeredmény megsejtéséhez (mondhatni személyre szabottan: heurisztikus megoldásához) egy fizikai szabályt alkalmaz, amit matematikusan precízen be is bizonyít. Arkhimédész szerint egy parabolaszelet területe megegyezik beleírt háromszög területének 4/3-szorosával.

A konoidokról és szferoidokról (A forgásparaboloidokról és forgásellipszoidokról) című művében a Módszerben megismert módszerrel ezen testek térfogatát és felszínét, illetve a síkmetszetek területeit számolja ki.

Arab fordításból ismerjük A szabályos hétszög szerkesztése könyvecskéjét. Némi számolás után kapta DE=ET=z, EC=TH=y, CG=x szakaszokat, hogy ATB területe megegyezik CFG területével. A hasonló háromszögeket és a terület-egyenlőséget figyelembe véve (y+z)z=x2-t az összefüggés. Az x,y,z oldalú háromszöget megszerkesztve a KDG köré írt körének (k) DK húrja adja a k-ba írható szabályos hétszög egyik oldalát.

Arkhimédész nem fűz több kommentárt a dologhoz, azonban feltételezhető, hogy például y+z=a jelöléssel, azaz ABCD egy a oldalú négyzet, z-t behelyettesítve kapjuk, hogy

(x+y)y=(a-y)2

és

a(a-y)=x2.

Derékszögű koordináta-rendszerben ábrázolva egy hiperbolát és egy parabolát kapunk, melyek metszéspontjai közül az I. síknegyedbe eső P metszéspont koordinátái adják x és y értékeket. Másrészről az is bebizonyítható, hogy a szerkesztés során tényleg a k körbe írható szabályos hétszög oldalát nyertük.

Pergei Apolloniosz (i.e. 260-190)

Alexandriában, majd Pergében dolgozva alkotta meg nyolckötetes kúpszeletekről szóló könyvét, a Kónikát. Tárgyalásának új módja, hogy a syümptómákat minden esetben speciálisan, konjugált átmérőpárra írta fel (az érintő az x, az átmérő az y tengely), mai szóhasználattal ferdeszögű koordináta-rendszerben, másrészről mind a parabolát, mind az ellipszist, mind a hiperbolát azonos eljárással vizsgálta.

Az első négy kötet görögül, a következő három arabul maradt ránk. A VIII. kötetet 1710-ben Papposz hivatkozásaira támaszkodva Edmund Halley angol matematika-történész rekonstruálta. Az I., II., III. és IV. könyv a kúpszeletek mint egyetlen ferde körkúp különböző síkmetszeteivel, a kúpszeletek szümptómáival, konjugált átmérővel, érintőkkel, aszimptotával, pólussal és polárissal illetve fokális tulajdonságokkal foglalkozik. Az V. kúpszeletek érintőiről és evolútáiról szól. A kúpszeletek egybevágóságával és hasonlóságával a VI. kötet foglalkozik, míg a VII.-t a konjugált átmérőkre szánta. A legutolsó rész lényegében szerkesztési feladatokat tartalmaz.

Mivel Apolloniosz egyetlen ferde körkúpot használt, ezért a korábban Menaikhmosztól származó bevett elnevezések nem voltak helyénvalóak. Ezért kereset valami közös , de mégis megkülönböztető tulajdonságot. Korábban említettem, hogy Apolloniosz mindhárom kúpszeletet azonos módon vizsgált, így juthatott el a következő feltünően hasonló szümptómákhoz (mai jelölésekkel):

\(\displaystyle E: y^2=2px-{p\over a}x^2\)

\(\displaystyle H: y^2=2px+{p\over a}x^2\)

Py2=2px

ahol \(\displaystyle p={{b^2}\over a}\). Apolloniosz az ellipszis egyenletét így fogalmazta meg: Illesszünk a 2p távolsághoz y2 területű téglalapot úgy, hogy hiányozzék a távolság mellől egy \(\displaystyle {p\over a}x^2\) területű téglalap! Könnyen belátható, hogy (az egyszerűség kedvéért) kanonikus helyzetben levő ellipszis |c| abszcisszájú pontjainak ordinátái

\(\displaystyle {c^2\over a^2}+{y^2\over b^2}=1\)

alapján

c2b2+a2y2=a2b2,

azaz

\(\displaystyle y^2={b^2(a^2-c^2)\over a^2}={b^4\over a^2}.\)

Tehát az ellipszis fókuszán átmenő, kistengellyel párhuzamos húr hossza pont 2p. A megfogalmazott feladatot Apolloniosz meg is oldotta.

Alexandriai Papposz (IV.sz.)

Szünagógé (Gyűjtemény) című munkájában összegyűjtötte a nagy elődök eredményeit, ugyanakkor őmaga ki is egészítette azokat, vagy új megoldást adott a problémákra. Mivel Apolloniosztól is összeszedet sok mindent, bizonyára foglalkozott kúpszeletekkel is, másrészről nagyon fontos szerepet játszott az ógörög matemetika megőrzésében az utókor számára.

Girard Desargues (1593-1662)

Lyoni születésű építész- és hadmérnök volt. 1626 és 1650 között Párizsban matematikával és fizikával foglalkozott, s 1935-ben a párizsi Akadémia tagjává választották. 1939-ben jelent meg Bruillon projet d`une atteinte aux événemens des recontres d`un cone avec un plan (Javasolt kísérlettervezet arra vonatkozóan, hogy miként kell eljárni, amikor egy kúp egy síkkal találkozik) című könyve. Az egyenes végtelen távoli pontjának és a sík végtelen távoli egyenesének bevezetésével megállapította, hogy azonos aszimptotájú hiperbolák végtelen távoli pontjaikban találkoznak. Először körre igazolta, majd általánosan is kimondta tételét: Ha egy kúpszeletbe húrnégyszöget rajzolunk, annak oldalegyeneseit egy ötödikkel elmetszük, ami a kúpszeletből is kimetsz két pontot, akkor az így kapott hat pont involúciót képez.

Pontosabban az ábra jelölései szerint PS, QR, UV pontpárok involúciót adnak.

(Egy egyenesre illeszkedő AA', BB', CC' pontpárok involúciót alkotnak, ha egy egyenesen levő O pontra OA*OA'=OB*OB'=OC*OC'.)

Pierre de Fermat (1601-1665)

A híres ,,matematikus'' jogász volt, szabadidejében fogalkozott matematikával. Ismereteit az ókori görög művek olvasásával alapozta meg, Apolloniosz: Plane loci elveszett iratainak rekonstruálásával is foglalkozott Papposz utalásai alapján. Írásait nem publikálta, de Ad locus planos et solidos isagoges (Bevezetés a síkbeli és térbeli mértani helyek elméletébe) (1636) ismert volt levelezőtársai körében. Az Oresme-féle paralel koordinátarendszer segítségével kimutatta, hogy az elsőfokú kétismeretlenes egyenlet grafikonja egyenes, a másodfokúé pedig kúpszelet. Apolloniosz gondolatmenetét követve levezette a kör, az ellipszis, a hiperbola és a parabola egyenletét. (A szümptómát már egyenletnek nevezte.) Egy adott másodfokú kétismeretlenes egyenletről ügyes transzformációkkal megkereste, milyen típusú kúpszelet egyenlete. Például a

2x2+2xy+y2=a2

egyenletet az y'=x+y és x'=\sqrt2x helyettesítéssel

\(\displaystyle (y')^2+{{(x')^2}\over2}=a^2,\)

azaz

\(\displaystyle {{(x')^2}\over{(a\sqrt2)^2}}+{{(y')^2}\over{a^2}}=1\)

alakra hozta, ami már jól azonosítható a korábban megismert szümptómával.

John Wallis (1616-1703)

A descartes-i analitikus geometria módszerével új módon tárgyalt kúpszeletek közös egyenletét felírta

y2=2px+\(\displaystyle epsilon\)x2

alakban, ahol \(\displaystyle \varepsilon={{b^2}\over{a^2}}\).

Blaise Pascal (1623-1662)

Desargues lelkes tanítványa ez a francia matematikus, aki 16 évesen írta Essay pour les coniques (Tanulmány a kúpszeletekről), ami csupán hat oldalas, de nagyon sok nagyhatású dolog van belefoglalva, például a róla elnevezett Pascal-tétel is. A tétel kimondja, hogy egy közönséges kúpszeletbe írt hatszög átellenes oldalpárjai egymást egy egyenes három pontjában metszik.

Philippe de Lahire (1640-1718)

A Collége de France matematika- és építészprofesszora volt. 1679-ben jelent meg Nouveaux des sections coniques (A kúpszeletek új elmélete) című művét, amit Colbertnek dedikált, és amiben Desargues kifejezéseit használta.

Guillaume François Antoine Marquis de L' Hospital (1661-1704)

Tankönyvet írt a Kúpszeletekről és differenciálásukról.

,,Cadet Clairaut'' (1716-1732)

Alexis Claud Clairaut francia matematikus és csillagász öccse, aki himlőben, 16 évesen hunyt el. Halála előtt egy évvel jelent meg Traité de quadratures circulaires et hiperboliques (Körök és hiperbolák kvadratúrája) című könyve.

Charles Julien Brianchon (1783-1864)

Sévres-ben született tüzértiszt, majd tanár. 21 éves korában mondta ki, tételét, ami Pascal tételének "duálisa". E szerint egy kúpszelet köré írható érintőhatszög átellenes végpontjait összekötő átlók egy pontban metszik egymást.

Germinal Pierre Dandelin (1794-1847)

Belgiumban élő francia mérnök volt. Tőle származik az a bizonyítás, mely szerint a forgáskúp síkmetszeteiként előálló kúpszeletek megfelelnek az ún. ponthalmazos meghatározásnak. A bizonyítás során a kúpba írt gömböket használ, amiket tiszteletére róla neveztek el.

Jacob Steiner (1796-1863)

A svájci Steiner tanítója Pestalozzi (1746-1827) volt. Később együtt is dolgoztak a mester intézetében, majd az egyetemi tanulmányok befejezése után (Heidelberg) Berlinben.Fő munkája a A geometriai alakzatok összefüggésének rendszeres kifejtése. A projektív geometria egyik nagy úttörőjeként a körre vonatkozó Fermat-tétel általánosításaként megfogalmazta és igazolta róla elnevezett tételét. E szerint minden kúpszelet olyan, projektív viszonyban álló két sugársor megfelelő egyeneseinek metszéspontjaiként tekinthetők, amely sugársorok tartói maguk is a kúpszelet pontjai. Ennek bizonyítása során tette azt a megállapítást is, hogy minden kúpszelet keletkezhet a körnek egy megfelelő síkra való centrális vetítésével.

Bolyai János (1802-1860)

Az egyik legnagyobb és leghíresebb magyar matematikus sem hagyható ki a sorból. Bár Bolyai hírnevét a hiperbolikus geometria leírásával szerezte (Appendix, 1831), itt a hiperbola egy alkalmazása miatt szerepel.

Bolyai az ókori szögharmadolás kérdésére adott egy választ. Köztudottan euklideszi értelemben nem szerkeszthető meg egy tetszőleges szögből annak harmada. Egy hiperbola élű vonalzóval azonban már igen. A híres matematikus ehhez egy derékszögű hiperbolát használt.

Helyezzük a hiperbolát egy koordináta-rendszerbe úgy, hogy az aszimptoták essenek egybe a tengelyekkel. A harmadolni kívánt szög csúcsa az origó, egyik szögszára az x-tengely pozitív ága legyen. Ekkor a másik szögszár a hiperbolát a P pontban metszi. A P középponttal és 2OP=2r sugárral kört szerkesztünk, ami (a síknegyedbe eső) hiperbolaágat D-ben és E-ben metszi. Legyen T a DE körvonal azon pontja, amire PT párhuzamos az abszcisszával. Ekkor DPTangle=beta a keresett harmadszög.

Ha P(a;b), akkor D(x1;y1) koordinátákra igaz, hogy x1y1-ab=0 a hiperbola egyenlete miatt. Ugyanakkor felírható x1=a+2rcos\(\displaystyle beta\)-ként és y1=b-2rcos\(\displaystyle beta\)-ként. Ezzel

x1y1-ab=(a+2rcosbeta)(b-2rcos\(\displaystyle beta\))-ab=0

azaz

2r(bcos\(\displaystyle beta\)-asin\(\displaystyle beta\))-4r2sinbetacosbeta=0.

Egyszerűsítve a bcos\(\displaystyle beta\)-asin\(\displaystyle beta\)=rsin 2beta-t kapjuk. Felhasználva a b=rsinalpha és az a=rcosalpha összefüggéseket, az r-rel való egyszerűsítés után egyenletünk

sinalphacos\(\displaystyle beta\)-cosalphasin\(\displaystyle beta\)=sin 2\(\displaystyle beta\)

alakot ölt. Ez nem más, mint

sin(alpha-\(\displaystyle beta\))=sin 2\(\displaystyle beta\).

alpha-beta és 2beta hegyesszögek, tehát alpha-beta=2beta, azaz 3beta=alpha. Tompa és homorú szög harmadolása visszavezethető a kiegászítőszögek segítségével a fent leírt hegyesszög-harmadolásra.


Vissza a főoldalra

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley