 |
Az A. 377. feladat (2005. szeptember) |
A. 377. Az ABC háromszög beírt köre az AB oldalt a C1, a BC oldalt az A1, a CA oldalt pedig a B1 pontban érinti. Mint ismeretes, AA1, BB1 és CC1 szakaszok egy ponton mennek át; jelöljük ezt a pontot N-nel. Rajzoljuk meg azt a három kört, amely átmegy N-en és érinti valamelyik két oldalt. Igazoljuk, hogy a hat érintési pont egy körön van.
(5 pont)
A beküldési határidő 2005. október 17-én LEJÁRT.
Megoldás. Használjuk az ábra szerinti betűzést.
A B3C2N kört úgy is megkaphatjuk, hogy a háromszög beírt körét az A pontból középpontosan kicsinyítjük. A kicsinyítés során az A1 pont képe N, a B1 pont képe B3, a C1 pont képe C2. Ezért B3C2 párhuzamos B1C1-gyel, B3N párhuzamos B1A1-gyel és C2N párhuzamos C1A1-gyel. Ugyanezt a gondolatmenetet az A2C3N és B2A3N körökre is alkalmazva, a B2N és NC3 szakaszok egyszerre párhuzamosak B1C1-gyel; tehát az N pont a B2C3 szakaszra esik és ez a szakasz is párhuzamos B1C1-gyel.
Mivel a B1C1 szakasz felező merőlegese az AK szögfelező, ugyanez a felező merőlegese a B2C3 és B3C2 szakaszoknak is. Hasonlóan, az A3B2 és A2B3 szakaszok közös felező merőlegese CK, és a C3A2 és C2A3 szakaszok közös felező merőlegese BK.
A K ponton mindhárom közös felező merőleges átmegy, tehát KB2=KC3=KA2=KB3=KC2=KA3. Az A2,A3,B2,B3,C2,C3 pontok egy K középpontú körön vannak.
Statisztika:
23 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Erdélyi Márton, Estélyi István, Fischer Richárd, Gyenizse Gergő, Hujter Bálint, Jankó Zsuzsanna, Kisfaludi-Bak Sándor, Kónya 495 Gábor, Korándi Dániel, Kutas Péter, Lovász László Miklós, Molnár 999 András, Nagy 224 Csaba, Paulin Roland, Tomon István, Udvari Balázs, Ureczky Bálint, Viktor Simjanoski. 0 pontot kapott: 5 versenyző.
A KöMaL 2005. szeptemberi matematika feladatai