Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

Az A. 385. feladat (2005. november)

A. 385. Legyen \alpha pozitív valós szám. Határozzuk meg az összes, nemnegatív számokból álló a1,a2,... sorozatot, amelynek összege, S= \sum_{k=1}^\infty a_k véges és tetszőleges n pozitív egész esetén


\sum_{k=1}^\infty a_{kn} = \frac{S}{n^\alpha}.

Német versenyfeladat

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. december 15-én LEJÁRT.


Megoldásvázlat. Felhasználjuk azt az ismert tételt, hogy a \prod_p\left(1-\frac1{p^\alpha}\right) végtelen szorzat, ami a prímeken megy végig, határértéke 0, ha \alpha\le1, és pozitív, ha \alpha>1.

Vegyük az első n prímet: p1,...,pn, és szitáljuk ki az ezekkel osztható indexeket. Az eredeti sorozatból hagyjuk el azokat a tagokat, amelyek indexe osztható az egyik kiválasztott prímmel; adjuk hozzá azokat, amelyek indexe két kiválasztott prímmel osztható stb. A végén azok a tagok maradnak meg, amelyek indexe p1,...,pn egyikével sem osztható:

\sum_{p_1,\dots,p_n\not| k} a_k = 
\prod_{k=1}^n\left(1-\frac1{p_k^\alpha}\right) \cdot S.

Ha n\to\infty, akkor a baloldal a1-hez tart, mert az összes többi tagot szép sorban kiszitáljuk.

Ha \alpha\le1, akkor a jobboldal 0-hoz tart, tehát a1=0. Ha ugyanezt rögzített l pozitív egészre az akl sorozattal játsszuk el, akkor azt kapjuk, hogy al=0.

Ha \alpha>1, akkor a jobboldal konvergens, határértéke c_\alpha\cdot S. Hasonlóan a_l=\frac{c_\alpha S}{l^\alpha}.

Összefoglalva, \alpha\le1 esetén csak a konstans 0 sorozat megoldás, \alpha>1 esetén pedig az összes a_k=\frac{c}{k^\alpha} alakú sorozat.


Statisztika:

9 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Erdélyi Márton, Nagy 224 Csaba, Paulin Roland.
4 pontot kapott:Gyenizse Gergő, Hujter Bálint, Kónya 495 Gábor.
3 pontot kapott:1 versenyző.
2 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2005. novemberi matematika feladatai