Az A. 408. feladat (2006. október)

A. 408. Az $a_1,a_2,\ldots,a_n$ és $b_1\le b_2\le\ldots\le b_n$ pozitív valós számokra teljesül, hogy tetszőleges 1 $\le$ k $\le$ n esetén $a_1+a_2+\ldots+a_k \le b_1+b_2+\ldots+b_k$ . Bizonyítsuk be, hogy

$\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\ldots+\frac1{a_n} \ge \frac1{b_1}+\frac1{b_2}+\ldots+\frac1{b_n}.$

(5 pont)

A beküldési határidő 2006. november 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Írjuk fel a súlyozott számtani-harmonikus közepek közötti egyenlőtlenséget a $\frac{b_1}{a_1},\dots,\frac{b_n}{a_n}$ számokra, az $\frac1{b_1},\ldots,\frac1{b_n}$ súlyokkal:

$\frac{\frac1{b_1}\cdot\frac{b_1}{a_1}+\dots+ \frac1{b_n}\cdot\frac{b_n}{a_n}}{\frac1{b_1}+\dots+\frac1{b_n}}\ge \frac{\frac1{b_1}+\dots+\frac1{b_n}}{ \frac1{b_1}\cdot\frac{a_1}{b_1}+\dots+ \frac1{b_n}\cdot\frac{a_n}{b_n}},$

vagyis

$\frac1{a_1}+\dots+\frac1{a_n}\ge \frac{\left(\frac1{b_1}+\dots+\frac1{b_n}\right)^2}{ \frac{a_1}{b_1^2}+\dots+\frac{a_n}{b_n^2}}.$

(1)

A nevezőt a következőképpen becsüljük felülről:

$\frac{a_1}{b_1^2}+\dots+\frac{a_n}{b_n^2}= \sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac1{b_k^2}-\frac1{b_{k+1}^2}\right) (a_1+\dots+a_k)+\frac1{b_n^2}(a_1+\dots+a_n)\le$

$\le \sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac1{b_k^2}-\frac1{b_{k+1}^2}\right) (b_1+\dots+b_k)+\frac1{b_n^2}(b_1+\dots+b_n)= \frac{b_1}{b_1^2}+\dots+\frac{b_n}{b_n^2}= \frac1{b_1}+\dots+\frac1{b_n}.$

Tehát,

$\frac1{a_1}+\dots+\frac1{a_n}\ge \frac{\left(\frac1{b_1}+\dots+\frac1{b_n}\right)^2}{ \frac{a_1}{b_1^2}+\dots+\frac{a_n}{b_n^2}} \ge \frac{\left(\frac1{b_1}+\dots+\frac1{b_n}\right)^2}{ \frac1{b_1}+\dots+\frac1{b_n}} = \frac1{b_1}+\dots+\frac1{b_n}.$

Statisztika:

14 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Gyenizse Gergő, Hujter Bálint, Kisfaludi-Bak Sándor, Kónya 495 Gábor, Lovász László Miklós, Nagy 224 Csaba, Nagy 314 Dániel, Sümegi Károly, Tomon István, Wolosz János.

4 pontot kapott: Korándi Dániel, Kornis Kristóf, Nagy 235 János.

3 pontot kapott: 1 versenyző.

A KöMaL 2006. októberi matematika feladatai

14 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Gyenizse Gergő, Hujter Bálint, Kisfaludi-Bak Sándor, Kónya 495 Gábor, Lovász László Miklós, Nagy 224 Csaba, Nagy 314 Dániel, Sümegi Károly, Tomon István, Wolosz János.
4 pontot kapott:	Korándi Dániel, Kornis Kristóf, Nagy 235 János.
3 pontot kapott:	1 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?