Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

Az A. 495. feladat (2009. december)

A. 495. Az ABC hegyesszögű háromszögben BAC\angle=\alpha. A D pont a háromszög belsejében, a BAC szög felezőjén, a E pont az AB oldalon, az F pont pedig a BC oldalon helyezkedik el úgy, hogy BDC\angle=2\alpha, AED\angle= 90^\circ+\frac{\alpha}{2}, és BEF\angle=EBD\angle. Határozzuk meg a BF:FC arányt.

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. január 11-én LEJÁRT.


Megoldásvázlat. Legyen E tükörképe az AD szögfelezőre G. Tükrözzük a D pontot pontot az AB és AC egyenesekre; jelöljük a két tükörképet U-val, illetve V-vel. Az UE, DE, DG, és VG szakaszok egymás tükörképei, ezért UE=DE=DG=VG.

Az AEDG deltoidban összeszámolva a szögeket, AEG\angle=AGE\angle=90^\circ-\frac\alpha2 és DEG\angle=DGE\angle=AED\angle-AEG\angle=
\bigg(90^\circ+\frac\alpha2\bigg)-
\bigg(90^\circ-\frac\alpha2\bigg) =\alpha.

A BDE és BUE, illetve a CDG és CVG háromszögek egybevágóak, BEU\angle=BED\angle=180^\circ-AED\angle=90^\circ-\frac\alpha2, illetve CGU\angle=CGD\angle=180^\circ-AGD\angle=90^\circ-\frac\alpha2.

Mivel BEU\angle=AEG\angle és CGV\angle=AGE\angle, az U, E, G és V pontok egy egyenesre esnek.

Legyen BEF\angle=BDE\angle=EBU\angle=x és CGF\angle=CDG\angle=GCV\angle=z. Az ABDC konkáv négyszög és az ABC háromszög szögeinek összegéből x+y=360o-\alpha-(360o-2\alpha)=\alpha, és

UBC\angle+BCV\angle=(ABC\angle+x)+(ACB\angle+y)=180o,

vagyis a BU és CV egyenesek párhuzamusak. Mivel EBU\angle=VEF\angle, az EF egyenes is párhuzamos velük.

A párhuzamos szelők tétele szerint tehát


\frac{BF}{FC} = \frac{UE}{EV} =
\frac{UE}{DE\cdot\cos\alpha+DG\cdot\cos\alpha+GV} =
\frac{1}{2\cos\alpha + 1}.


Statisztika:

5 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Bodor Bertalan, Éles András, Nagy 235 János, Nagy 648 Donát.
2 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2009. decemberi matematika feladatai