Az A. 547. feladat (2011. november)

A. 547. Adott az OA₁A₂A₃ tetraéder mindegyik OA_i élén egy B_i belső pont, az OA_i él A_i-n túli meghosszabbításán pedig egy C_i pont (i=1,2,3). Tegyük fel, hogy az OA_i+1A_i+2 és B_iA_i+1A_i+2 síkok által határolt hat lapú testbe, továbbá az B_iA_i+1A_i+2 és C_iA_i+1A_i+2 síkok által határolt testbe is egy-egy gömböt lehet írni. Bizonyítsuk be, hogy ekkor az OA_i+1A_i+2 és C_iA_i+1A_i+2 síkok által határolt testbe is gömböt lehet írni.

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. december 12-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. A bizonyítás során irányított egyenesekel, irányított síkokkal és ezek irányított szögeivel fogunk dolgozni. Tetszőleges, nem kollineáris X,Y,Z pontok esetén az XY egyenes pozitív iránya megegyezik az $\overrightarrow{XY}$ vektor irányával, az XYZ sík pozitív oldalára (a jobbkézszabálynak megfelelően) az $\overrightarrow{XY}\times\overrightarrow{XZ}$ vektor mutat.

Lemma. Legyen $\ell$ irányított egyenes, amire illeszkednek a $\mathcal{P}_0$ , $\mathcal{P}_1$ és $\mathcal{P}_2$ irányított síkok. Legyen $\varphi_i=\angle(\mathcal{P}_0,\mathcal{P}_i)$ az az irányított szög, amellyel $\mathcal{P}_0$ -t az $\ell$ körül a jobbkézszabály szerinti irányban $\mathcal{P}_i$ -be forgathatjuk (i=1,2; ezeket a szögeket modulo 360^o értjük). Legyen X olyan pont, amelynek előjeles távolsága a $\mathcal{P}_0$ , $\mathcal{P}_1$ , $\mathcal{P}_2$ síkoktól rendre d, r, illetve -r. Ekkor a következők teljesülnek:

$\frac{r+d}{r-d} = \frac{\tg\dfrac{\varphi_2}2}{\tg\dfrac{\varphi_1}2}$ és $\frac{d}{r} = \frac{\tg\dfrac{\varphi_2}2+\tg\dfrac{\varphi_1}2}{ \tg\dfrac{\varphi_2}2-\tg\dfrac{\varphi_1}2}$ .

Bizonyítás. Legyen $\mathbf{n}_i$ a $\mathcal{P}_i$ sík egységnyi hosszúságú normálvektora, ami a sík pozitív oldala felé mutat, és legyen $\mathbf{v}$ az $\ell$ szintén egységnyi irányvektora. Legyen $\mathbf{x}$ olyan vektor, ami $\ell$ egy pontját köti össze az X ponttal. Az X pont előjeles távolságát bármelyik $\mathcal{P}_i$ síktól $\mathbf{x}$ és $\mathbf{n}_i$ skaláris szorzataként kaphatjuk:

$d = \mathbf{n}_0\cdot\mathbf{x}, \qquad r = \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{x}, \qquad -r = \mathbf{n}_2\cdot\mathbf{x}.$

Legyen $\mathbf{m}=\mathbf{n}_0\times\mathbf{v}$ az $\mathcal{P}_0$ síkban $\ell$ -re merőleges egységvektor, amire $(\mathbf{m},\mathbf{n}_0,\mathbf{v})$ jobbsodrású rendszert alkot. Ekkor

$\mathbf{n}_1 = \cos\varphi_1\cdot\mathbf{n}_0-\sin\varphi_1\cdot\mathbf{m} \quad\text{és}\quad \mathbf{n}_2 = \cos\varphi_2\cdot\mathbf{n}_0-\sin\varphi_2\cdot\mathbf{m},$

$\sin\varphi_2\cdot \mathbf{n}_1-\sin\varphi_1 \cdot \mathbf{n}_2 = (\sin\varphi_2\cos\varphi_1-\sin\varphi_1\cos\varphi_2) \cdot \mathbf{n}_0 = \sin(\varphi_2-\varphi_1)\cdot\mathbf{n}_0.$

Az $\mathbf{x}$ -szel skalárisan szorozva,

$\sin\varphi_2 \cdot (\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{x}) - \sin\varphi_1 \cdot (\mathbf{n}_2\cdot\mathbf{x}) = \sin(\varphi_2-\varphi_1)\cdot (\mathbf{n}_0\cdot\mathbf{x})$

sin $\varphi$ ₂^.r-sin $\varphi$ ₁^.(-r)=sin ( $\varphi$ ₂- $\varphi$ ₁)^.d

$\dfrac{d}{r} = \dfrac{\sin\varphi_2+\sin\varphi_1}{\sin(\varphi_2-\varphi_1)} = \dfrac{ 2\sin\dfrac{\varphi_2+\varphi_1}2\cos\dfrac{\varphi_2-\varphi_1}2 }{ 2\sin\dfrac{\varphi_2-\varphi_1}2\cos\dfrac{\varphi_2-\varphi_1}2 } = \dfrac{ \sin\dfrac{\varphi_2+\varphi_1}2 }{ \sin\dfrac{\varphi_2-\varphi_1}2 } =$

$= \dfrac{ \sin\dfrac{\varphi_2}2\cos\dfrac{\varphi_1}2+ \sin\dfrac{\varphi_1}2\cos\dfrac{\varphi_2}2 }{ \sin\dfrac{\varphi_2}2\cos\dfrac{\varphi_1}2- \sin\dfrac{\varphi_1}2\cos\dfrac{\varphi_2}2 } = \dfrac{ \tg\dfrac{\varphi_2}2 + \tg\dfrac{\varphi_1}2 }{ \tg\dfrac{\varphi_2}2 - \tg\dfrac{\varphi_1}2 }.$

Átrendezve,

$\dfrac{d+r}{d-r} = \dfrac{\dfrac{d}{r}+1}{\dfrac{d}{r}-1} = \dfrac{ \dfrac{ \tg\frac{\varphi_2}2+\tg\frac{\varphi_1}2 }{ \tg\frac{\varphi_2}2-\tg\frac{\varphi_1}2 }+1 }{ \dfrac{ \tg\frac{\varphi_2}2+\tg\frac{\varphi_1}2 }{ \tg\frac{\varphi_2}2-\tg\frac{\varphi_1}2 }-1 } = \dfrac{ \tg\dfrac{\varphi_2}2 }{ \tg\dfrac{\varphi_1}2 }.$

Ezzel a lemmát igazoltuk.

Legyen az OA_i+1A_i+2 és B_iA_i+1A_i+2 síkok által határolt testbe írt gömb középpontja X, sugara r_X, előjeles távolsága az A₁A₂A₃ síktól d_X. Az X pont előjeles távolsága mindhárom B_iA_i+1A_i+2 síktól r_X, és mindhárom OA_i+1A_i+2 síktól -r_X.

Hasonlóan, legyen a B_iA_i+1A_i+2 és C_iA_i+1A_i+2 síkok által határolt testbe írt gömb középpontja Y, sugara r_Y, Legyen Y előjeles távolsága az A₁A₂A₃ síktól d_Y. Az Y pont előjeles távolsága mindhárom C_iA_i+1A_i+2 síktól r_Y, és mindhárom B_iA_i+1A_i+2 síktól -r_Y.

Minden egyes i=1,2,3-ra tekintsük az A_i+1A_i+2O és A_i+1A_i+2C_i irányított síkok külsö szögfelező síkját, és legyen Z a három szögfelező sík metszéspontja; ez lesz a keresett harmadik gömb középpontja. Egyelőre tegyük fel, hogy a három szögfelező sík egyike sem esik egybe az A₁A₂A₃ síkkal; ebből következik, hogy Z nem eshet az A₁A₂A₃ síkra. Legyen Z előjeles távolsága az A₁A₂A₃ síktól $d_Z\mathbf{n}e0$ , az A₁A₂C₃ síktól $\varrho$ . Mivel Z rajta van az A₁A₂C₃ és A₁A₂O irányított síkok külső szögfelezőjén, Z távolsága az A₁A₂O irányított síktól - $\varrho$ .

Legyen $\alpha$ = $\angle$ (A₁A₂A₃,A₁A₂O), $\beta$ = $\angle$ (A₁A₂A₃,A₁A₂B₃) és $\gamma$ = $\angle$ (A₁A₂A₃,A₁A₂C₃), ahol a síkok közös A₁A₂ egyenesét az $\overrightarrow{A_1A_2}$ vektor szerint irányítjuk.

Akalmazzuk a Lemmát az A₁A₂ egyenesre, az A₁A₂A₃, A₁A₂B₃, A₁A₂O síkokra és az X pontra; a lemma szerint

$\frac{\tg\dfrac{\alpha}2}{\tg\dfrac{\beta}2} = \frac{r_X+d_X}{r_X-d_X}.$

(1)

Hasonlóan, a Lemmát az A₁A₂ egyenesre, az A₁A₂A₃, A₁A₂C₃, A₁A₂B₃ síkokra és az Y pontra alkalmazva kapjuk, hogy

$\frac{\tg\dfrac{\beta}2}{\tg\dfrac{\gamma}2} = \frac{r_Y+d_Y}{r_Y-d_Y}.$

(2)

Végül, a Lemmát az A₁A₂ egyenesre, az A₁A₂A₃, A₁A₂C₃, A₁A₂O síkokra és az Z pontra alkalmazva,

$\frac{d_Z}{\varrho} = \frac{\tg\dfrac{\alpha}2+\tg\dfrac{\gamma}2}{ \tg\dfrac{\alpha}2-\tg\dfrac{\gamma}2} = \frac{ \dfrac{\tg\frac{\alpha}2}{\tg\frac{\gamma}2}+1}{ \dfrac{\tg\frac{\alpha}2}{\tg\frac{\gamma}2}-1} = \frac{ \dfrac{r_X+d_X}{r_X-d_X} \cdot \dfrac{r_Y+d_Y}{r_Y-d_Y} +1}{ \dfrac{r_X+d_X}{r_X-d_X} \cdot \dfrac{r_Y+d_Y}{r_Y-d_Y} -1}.$

Láthatjuk, hogy d_Z $\ne$ 0 esetén a d_X,r_X,d_Y,r_Y,d_Z távolságok egyértelműen meghatározzák $\varrho$ -t, és ha az 1,2,3 indexeket ciklikusan felcseréljük, ugyanezt az értéket kapjuk. A Z pont tehát ugyanakkora tvolságra van az összes OA_i+1A_i₂ és C_iA_i+1A_i₂ síktól.

Abban az elfajuló esetben, ha valamelyik i-re a C_iA_i+1A_i+2 és OA_i+1A_i+2 síkok szimmetrikusak az A₁A₂A₃ síkra, akkor a C₁,C₂,C₃ pontokat egy kicsit elmozgathatjuk úgy, hogy a gömbök továbbra is létezzenek; az ilyen elrendezések határhelyzeteként megkaphatjuk az eredetit.

Statisztika:

2 dolgozat érkezett.

0 pontot kapott: 2 versenyző.

A KöMaL 2011. novemberi matematika feladatai

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?