Az A. 556. feladat (2012. február)

A. 556. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges $a_1,\ldots,a_n$ valós számokhoz van olyan t valós szám, amire

$\sum_{i=1}^n \big|\sin(t-a_i)\big| \le \ctg\frac\pi{2n}.$

(Lásd a Kürschák-verseny 3. feladatát számunk 70 oldalán)

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. március 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Definiáljuk az $f(x) = \sum_{i=1}^n \big|\sin(x-a_i)\big|$ függvényt, és legyen $M = \min\big( f(a_1), \ldots, f(a_n) \big)$ . Azt fogjuk igazolni, hogy $M \le \ctg\frac\pi{2n}$ . Ebből következik, hogy a t=a₁, ..., t=a_n választások valamelyike megfelelő.

Az a₁,...,a_n számok szerepe szimmetrikus, és az |sin x| függvény $\pi$ szerint periodikus, ezért az általánosság csorbítása nélkül feltehetjük, hogy $0<a_1\le a_2\le\ldots\le a_n=\pi$ . Definiáljuk a₀=0-t is, ekkor persze f(a₀)=f(a_n).

Ha $a_1=\ldots=a_n=\pi$ , akkor $f(a_1)=\ldots=f(a_n)=0$ , és az állítás triviális. A továbbiakban azt is feltételezzük, hogy a₁< $\pi$ ; ekkor az $a_1-a_0,a_2-a_1,\ldots,a_n-a_{n-1}$ számok mindegyike kisebb, mint $\pi$ .

Mivel a |sin x| függvény $\pi$ szerint periodikus,

$\int_0^\pi f = \sum_{i=1}^n \int_0^\pi \big|\sin(x-a_i)\big| \,\mathrm{d}x = \sum_{i=1}^n \int_0^\pi \big|\sin x\big| \,\mathrm{d}x = n \cdot 2 = 2n.$

(1)

A továbblépéshez megmutatjuk, hogy tetszőleges 1 $\le$ k $\le$ n indexre

$\int_{a_{k-1}}^{a_k} f = \big(f(a_{k-1})+f(a_k)\big) \cdot \tg\frac{a_k-a_{k-1}}2.$

(2)

Az (2) azonosságot tagonként igazoljuk. Tetszőleges 1 $\le$ i $\le$ n indexre

$\int_{a_{k-1}}^{a_k} \sin(x-a_i) \,\mathrm{d}x = \cos(a_{k-1}-a_i) - \cos(a_k-a_i) = 2 \sin\frac{(a_{k-1}-a_i)+(a_k-a_i)}2 \sin\frac{a_k-a_{k-1}}2 =$

$= \bigg(2 \sin\Big(\frac{a_{k-1}+a_k}2-a_i\Big) \cos\frac{a_k-a_{k-1}}2\bigg) \tg\frac{a_k-a_{k-1}}2 = \Big( \sin(a_{k-1}-a_i) + \sin(a_k-a_i) \Big) \tg\frac{a_k-a_{k-1}}2.$

Az [a_k-1,a_k] intervallumban a sin (x-a_i) előjele állandó: nemnegatív, ha i $\le$ k-1, és nempozitív, ha i $\ge$ k. Ezért a fentieket i<k esetén (-1)-gyel szorozva, majd az összes i-re összegezve megkapjuk (2)-t.

Az (1) és (2) azonosságok összevetve, majd a tangensfüggvényre alkalmazva a Jensen-egyenlőtlenséget (a tangensfüggvény konvex a [0, $\pi$ /2) intervallumban),

$2n = \int_0^\pi f = \sum_{k=1}^n \int_{a_{k-1}}^{a_k} f = \sum_{k=1}^n \big(f(a_{k-1})+f(a_k)\big) \cdot \tg\frac{a_k-a_{k-1}}2 \ge$

$\ge 2M \cdot \sum_{k=1}^n \tg\frac{a_k-a_{k-1}}2 \ge 2M \cdot n \tg\bigg( \frac1n \sum_{k=1}^n \frac{a_k-a_{k-1}}2 \bigg) = 2nM \cdot \tg \frac\pi{2n},$

$M \le \ctg \frac\pi{2n}.$

Statisztika:

6 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Gyarmati Máté, Janzer Olivér, Omer Cerrahoglu.

4 pontot kapott: Machó Bónis.

0 pontot kapott: 2 versenyző.

A KöMaL 2012. februári matematika feladatai

6 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Gyarmati Máté, Janzer Olivér, Omer Cerrahoglu.
4 pontot kapott:	Machó Bónis.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?