Az A. 582. feladat (2013. február)

A. 582. Legyen p rögzített pozitív prímszám. Tetszőleges f(x) egész együtthatós polinomra legyen

f^*(x)=f((1+x)^p-1).

Határozzuk meg mindazokat a g egész együtthatós polinomokat, amelyekre teljesül a következő: minden pozitív egész n-hez van olyan f egész együtthatós polinom, amelyre a g-(f-f^*) polinom n-nél kisebb fokú együtthatói mind oszthatók pⁿ-nel.

Javasolta: Maga Péter (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. március 11-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Nevezzük az ilyen tulajdonságú g polinomokat "jó" polinomoknak. Megmutatjuk, hogy tetszőleges g polinom akkor és csak akkor jó, ha g konstans tagja 0, azaz g(0)=0.

(a) Tegyük fel, hogy g jó polinom; megmutatjuk, hogy g(0)=0. Vegyünk egy olyan n pozitív egészt, amire pⁿ>|g(0)|. A feltevésünk szerint van olyan egész együtthatós f polinom, amire g-(f-f^*) n-nél kisebb fokú együtthatói mind oszthatók pⁿ-nel. Az x=0 helyettesítéssel láthatjuk, hogy g(0)-f(0)+f^*(0)=g(0) osztható pⁿ-nel. Mivel |g(0)|<pⁿ, ez csak úgy lehet, ha g(0)=0.

(b) Most tegyük fel, hogy g(0)=0, és legyen n tetszőleges pozitív egész. Ezekhez konstruálunk egy megfelelő f polinomot.

Legyen I azoknak az egész együtthatós polinomoknak a rendszere, amelyek konstans tagja 0, és az n-nél kisebb fokú együtthatóik mind oszthatók pⁿ-nel. Olyan f-re van szükségünk, amire g-f+f^* $\in$ I.

1. állítás. I-beli polinomok összege, szorzata, egész kitevős hatványa és egész számszorosa is I-beli. (Triviális.)

2. állítás. Tetszőleges k pozitív egészre legyen g_k az a polinom, amit úgy kaphatunk, hogy a g polinomra k-szor alkalmazzuk a * operációt: $g_k = (...(g^*\underbrace{)^*)...)^*}_k$ . Ekkor g_k(x)=g((x+1)^{p^k}-1).

Bizonyítás: k szerinti teljes indukció.

3. állítás. Legyen h(x)=(x+1)^p²ⁿ-1. Ekkor h $\in$ I.

Bizonyítás: Tiviálisan h(0)=0. Ha 0<m<n, akkor m<pⁿ, és h m-edfokú együtthatója, $\binom{p^{2n}}{m}=\frac{p^{2n}}{m}\cdot\binom{p^{2n}-1}{m-1}$ biztosan osztható pⁿ-nel.

4. állítás. g_2n $\in$ I.

Bizonyítás: A 2. állítás szerint g_2n(x)=g(h(x)), ami a 3. állítás, a g(0)=0 feltétel és az 1. állítás miatt I-ben van.

Az f polinom konstrukciója: Legyen f=g+g₁+...+g_2n-1. Ekkor

g-f+f^*=g-(g+g₁+...+g_2n-1)+(g+g₁+...+g_2n-1)^*=g-(g+g₁+...+g_2n-1)+(g₁+...+g_2n)=g_2n $\in$ I.

Statisztika:

3 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Janzer Olivér, Omer Cerrahoglu.

1 pontot kapott: 1 versenyző.

A KöMaL 2013. februári matematika feladatai

3 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Janzer Olivér, Omer Cerrahoglu.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?