Az A. 583. feladat (2013. február)

A. 583. Adott n véletlen esemény (n $\ge$ 3) úgy, hogy mindegyikük valószínűsége $\frac12$ , bármelyik kettő együttes bekövetkezésének valószínűsége $\frac14$ , továbbá bármelyik három együttes bekövetkezésének valószínűsége $\frac18$ .

(a) Igazoljuk, hogy annak a valószínűsége, hogy egyik esemény sem következik be, legfeljebb $\frac{1}{2n}$ .

(b) Mutassuk meg, hogy végtelen sok n esetén megadhatók az események oly módon, hogy pontosan $\frac{1}{2n}$ legyen annak a valószínűsége, hogy egyik esemény sem következik be.

A 2012. évi Kürschák-verseny 3. feladata nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. március 11-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. (a) Legyen N a bekövetkező események száma, és p annak valószínűsége, hogy N>0. Jelölje E(f(N)|_N>0) az f(N) várható értékét azzal a feltétellel, hogy N>0. Ekkor

E(1|_N>0)=1,

$E(N|_{N>0}) = \frac1p\sum_i P(A_i) = \frac{n}{2p},$

$E(N^2|_{N>0}) = \frac1p \left(\sum_i P(A_i)+2\sum_{i<j} P(A_i\cap A_j)\right) = \frac1p \left(n\cdot\frac12 + 2\binom{n}2 \frac14 \right) = \frac{n^2+n}{4p},$

$E(N^3|_{N>0}) = \frac1p \left(\sum_i P(A_i)+6\sum_{i<j} P(A_i\cap A_j) + 6\sum_{i<j<k} P(A_i\cap A_j\cap A_k) \right) =$

$= \frac1p \left(\frac{n}2 + 6\binom{n}2 \frac14 + 6\binom{n}3 \frac18 \right) = \frac{n^3+3n^2}{8p}.$

Az $-x^3+2nx^2-\frac54n^2x+\frac{n^3}4=(n-x)(x-n/2)^2\ge0$ egyelőtenségbe x=N-et beírva, majd feltételes határértéket véve,

$E\left( -N^3+2nN^2-\frac54n^2N+\frac{n^3}4 \bigg|_{N>0}\right) \ge0$

$-E(N^3|_{N>0}) +2nE(N^2|_{N>0}) -\frac54n^2E(N|_{N>0}) +\frac{n^3}4E(1|_{N>0}) \ge0$

$-\frac{n^3+3n^2}{8p} +2n\frac{n^2+n}{4p} -\frac54n^2\frac1p +\frac{n^3}4 \ge0$

$p \ge 1-\frac1{2n}.$

(b) Látható, hogy egyenlőség nem lehetséges, ha n páratlan. Ha n=2k, akkor az egyenlőség elérhető, például a következőképpen.

-- $\frac1{4k}$ valószínűséggel egyik esemény sem következik be.

-- $\frac1{4k}$ valószínűséggel mindegyik esemény bekövetkezik.

-- $\frac{2k-1}{2k}$ valószínűséggel az eseményeknek pontosan fele következik be, mindegyik lehetséges k-as ugyanakkora eséllyel.

Ekkor

$P(A_i) = \frac1{4k} + \frac{2k-1}{2k}\cdot \frac{\binom{2k-1}{k-1}}{\binom{2k}{k}} = \frac1{4k} + \frac{2k-1}{2k}\cdot \frac12 = \frac12$

$P(A_{i_1}\cap A_{i_2}) = \frac1{4k} + \frac{2k-1}{2k}\cdot \frac{\binom{2k-2}{k-2}}{\binom{2k}{k}} = \frac1{4k} + \frac{2k-1}{2k}\cdot \frac{k-1}{2(2k-1)} = \frac14$

$P(A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap A_{i_3}) = \frac1{4k} + \frac{2k-1}{2k}\cdot \frac{\binom{2k-3}{k-3}}{\binom{2k}{k}} = \frac1{4k} + \frac{2k-1}{2k}\cdot \frac{(k-1)(k-2)}{2(2k-1)(2k-2)} = \frac18.$

Statisztika:

3 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Janzer Olivér, Nagy Bence Kristóf, Szabó 928 Attila.

A KöMaL 2013. februári matematika feladatai

3 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Janzer Olivér, Nagy Bence Kristóf, Szabó 928 Attila.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?