Problem A. 588. (April 2013)
A. 588. Let a be a positive integer. Prove that all prime divisors of 7a2(a+1)-1 are of the form 7k1.
(5 pont)
Deadline expired on May 10, 2013.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldásvázlat. Az 152=225-nél kisebb prímekre az állítás (kezelhetően) véges sok eset vizsgálatával igazolható.
A nagyobb prímekre végtelen leszállással bizonyítunk. Tegyük fel, hogy van olyan p>225 prímszám, ami nem 7k1 alakú, és olyan a egész, amikre p osztója (7a2(a+1)-1)-nek. Vegyük a legkisebb ilyen p prímet, és hozzá egy alkalmas a-t.
I. Első lépésként keressünk olyan n és b egészeket, amikre ,
és
. Legyen
, és helyezzük el a 0,a,2a,...,Na modulo p maradékosztályokat egy p hosszú kör mentén. Ezek a kört N+1 ívre osztják, ezért biztosan van az ívek között legfeljebb
hosszúságú; valamelyik két 0
i<j
N indexre az ia és ja pontok távolsága kisebb, mint
. Legyen n=j-i és b
na=(ja-ia); ekkor tehát
.
Ha b-nek és n-nek van egy d>1 közös osztója, akkor cseréljük ki őket a b/d és n/d számokra; ezután azt is feltehetjük, hogy b és n relatív prímek.
II. Most legyen A=7b3+7b2n-n3. Ekkor
azaz A osztható p-vel, továbbá triviálisan
|A|<15p3/2<p2.
A 7-tel nem osztható köbszámok 1 maradékot adnak 7-tel osztva. Ha n nem osztható 7-tel, akkor tehát
. Ezért A-nak kell, hogy legyen még legalább egy olyan q prímosztója, ami nem 7, és nem is 7k
1 alakú.
Ha n osztható 7-tel, n=7m, akkor b nem osztható 7-tel. Ilyenkor az szám lesz 7k
1 alakú, és ilyenkor is létezik p-kívül még egy q prímszosztója az A/7-nek, ami nem 7, és nem is 7k
1 alakú.
A q szám kisebb, mint p, mert pq|A, és így
III. Végül, mivel b és n relatív prímek, egyikük sem lehet osztható q-val. Legyen n-1 az n multiplikatív inverze modulo q, és legyen c=n-1b. Ekkor
Ez pedig azt jelenti, hogy találtunk egy p-nél kisebb ,,rossz'' prímet, a q-t. Ez ellentmond annak, hogy a lehető legkisebb p-t vettük.
Megjegyzés. A feladat kapcsolódik Keith Kearnes, Kiss Emil és Szendrei Ágnes Gauss egészek és Dirichlet tétele c. cikkéhez (KöMaL 2010/3-4) és az A. 517. feladathoz. A cikk (valamivel mélyebb eszközöket használva) lényegesen általánosabb, közvetlen megoldást ad a feladatra.
A cikk jelöléseivel
7(x)=x3+x2-2x-1
Relatív prím a,b számok esetén ennek a kifejezésnek minden prímosztója 7, vagy 7k1 alakú.
Statistics:
1 student sent a solution. 0 point: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2013