Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Az A. 597. feladat (2013. október)

A. 597. Adottak a síkon a k0, k1, k2, k3 és k4 körök úgy, hogy i=1,2,3,4 esetén ki kívülről érinti k0-t a Ti pontban, továbbá ki kívülről érinti ki+1-et az Si pontban (k5=k1). Legyen O a k0 középpontja, T az T1T3 és T2T4 egyenesek metszéspontja, és legyen S a S1S3 és S2S4 egyenesek metszéspontja. Igazoljuk, hogy O, T és S egy egyenesen van.

Javasolta: Mester Márton, Cambridge

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. november 11-én LEJÁRT.


1. megoldás (vázlat). Először megmutatjuk, hogy az S1, S2, S3, S4 pontok egy körön vannak. Jelöljük ti-vel a k1 és ki+1 közös belső érintőjét. Az SiSi+1 húrok ugyanakkora szöget zárnak be a ti és ti-1 érintőkkel. Ebből láthatjuk, hogy az S1S2S3S4 négyszög szemközti összeinek összege egyenlő, S1S2S3S4 húrnégyszög. Jelöljük a körülírt körét u-val, u középpontját U-val.

Legyen x és y az a két kör, ami átmegy T1-en és T3-on, illetve T2-n és T4-en, továbbá merőleges k0-ra. A k1 és k3 szintén merőleges x-re, az x-re való tükrözés (inverzió) ezért önmagára képezi a k0, k1 és k3 köröket. Mivel k0, k1 és k3 egyértelműen meghatározza k2-t és k4-et, a k2 és k4 egymás x-re vonatkozó tükörképe. Ebből következik, hogy a T2 és T4 pontok, az S1 és S4 pontok, továbbá az S2 és S3 pontok is egymás x-re vonatkozó tükörképei, az y kör pedig önmaga tükörképe, tehát x és y merőleges egymásra. Az u kör szintén önmaga tükörképe, ezért u is merőleges x-re. Hasonlóan, a k1 és k3 körök, a T1 és T3 pontok, az S1 és S2 pontok, illetve a S3 és S4 pontok egymás y-ra vonatkozó tükörképei, továbbá az y kör merőleges k0-ra, k2-re, k4-re és u-ra.

Legyen P és Q az x és y körök két metszéspontja. Azt fogjuk megmutatni, hogy O, U, T és S is az x és y körök PQ hatványvonalán van.

Mivel x és y is merőleges k0-ra, a P és Q pontok egymás tükörképei a k0 körre, ezért k0 középpontja, O is a PQ egyenesen van. Hasonlóan, mivel u merőleges x-re és y-ra, az u középpontja, U is a hatványvonalon van.

Az T1T3 egyenes a k0 és az x hatványvonala, az T2T4 egyenes pedig a k0 és az y hatványvonala. Tehát T a k0, x és y körök hatványpontja. ami a harmadik hatványvonalon, az PQ egyenesen van.

Tekintsük most a PQS1, PQS2 és PQS4, köröket. A PQS1 tükörképe x-re PQS4, y-ra PQS2. Mivel x és y merőleges egymásra, a PQS4 és PQS2 iránya a P és Q pontban megegyezik. Tehát a PQS4 és a PQS2 kör ugyanaz; jelöljük ezt a kört m-mel. Hasonlóan látjuk, hogy P,Q,S1,S3 egy körön van; ezt a kört jelöljük n-nel. Az u, m és n körök hatványpontja az S=S1S3\capS2S4 pont, amin átmegy m és n hatványvonala, a PQ egyenes.

Ezzel bebizonyítottuk, hogy az O, S és T pontok a PQ egyenesen vannak.

A megoldás akkor is elmondható, ha az x és y körök valamelyike egyenessé fajul. Ha mindkettő egyenes, akkor az O,U,S,T pontok egybeesnek.

2. megoldás (vázlat). Az előző megoldáshoz hasonlóan láttjuk, hogy S1S2S3S4 húrnégyszög, körülírt köre legyen u, középpontja U. Az u kör SiSi+1 íve a ki+1 körben fekszik, így a k1,k2,k3,k4 körök lefedik u-t, míg ugyezek a körök kívülről érintik k0-t. Ezért a k0 és u közöknek ninics közös pontja. Ebből következik, hogy létezik olyan térbeli inverzió, ami a k0 és u köröket párhuzamos (síkú) körökbe viszi. Tekintsünk egy ilyen inverziót; a pólusa legyen X, az egyes objektumok képét ' fogja jelölni a szokásos módon. A sík képe egy gömbfelület, a körök és egyenesek képe egy-egy, a gömbre illeszkedő kör; egymást érintő görbék képei egymást érintő görbék.

Minden egyes i-re a ki' és u' körök szöge, valamint a ki+1' és u' körök szöge 180o-ra egésziti ki egymást. Ebből következik, hogy k1' és k3', illetve k2' és k4' ugyanakkora, S1'S2'S3'S4' téglalap, T1'T2'T3'T4' pedig négyzet.

Legyen S*=S1'S3'\capS3'S4' és T*=T1'T3'\capT3'T4' az u', iletve a k0' kör középpontja. Mivel X, Ti és Ti' egy egyenesre esik, az X,Ti,Ti+2,Ti',Ti+2' pontok egy síkra esnek (i=1,2). E két sík metszésvonala XT*T. Hasonlóan, X,S*,S egy egyenesen van.

Az XS*T* síkra a k0' és az u' kör is szimmetrikus, ezért az inverzeik is; ezért középpontjaik, O, illetve U a XS*T* síkban van.

Az O,U,S,T pontok mindegyike az eredeti sík és a XS*T* sík közös részén helyezkedik el, ez a négy pont tehát egy egyenesen van.

Megjegyzés. Térbe kilépés helyett az k0 és u köröket koncentrikus körökbe is átvihetjük alkalmas inverzióval. Az Olvasóra bízzuk ennek a megközelítésnek a befejezését.


Statisztika:

9 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Fehér Zsombor, Machó Bónis, Maga Balázs, Simon 047 Péter, Szabó 789 Barnabás, Williams Kada.
2 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2013. októberi matematika feladatai