Az A. 680. feladat (2016. november)

A. 680. Legyen \(\displaystyle M(x)\) olyan valós együtthatós polinom, amelynek nincs valós gyöke. Igazoljuk, hogy tetszőleges \(\displaystyle P(x)\) valós együtthatós polinomhoz létezik olyan \(\displaystyle Q(x)\) valós együtthatós polinom, amelyre \(\displaystyle P{(x)}^2+Q{(x)}^2\) osztható az \(\displaystyle M(x)\) polinommal.

(2016. évi Schweitzer-feladat nyomán)

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. december 12-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Az állítást nyilván elég abban az esetben igazolni, ha \(\displaystyle M\) főegyütthatója \(\displaystyle 1\).

Az algebra alaptétele szerint az \(\displaystyle M\) polinom komplex gyöktényezők szorzatára bomlik: ha a polinom gyökei \(\displaystyle r_1,\ldots,r_n\), akkor

\(\displaystyle M(x) = \prod_{k=1}^n (x-r_k). \)

Mivel \(\displaystyle M\) valós együtthatós, és nincs tisztán valós gyöke, a komplex gyökök konjugált párokra oszthatók. Legyen \(\displaystyle M^+\) és \(\displaystyle M^-\) a pozitív, illetve a negatív képzetes részű gyökökhöz tartozó gyöktényezők szorzata:

\(\displaystyle M^+(x) = \prod_{\substack{1\le k\le n\\ \textrm{Im}\,r_k>0}} (x-r_k), \quad M^-(x) = \prod_{\substack{1\le k\le n\\ \textrm{Im}\,r_k<0}} (x-r_k). \)

Az \(\displaystyle M^+\) és \(\displaystyle M^-\) polinomok együtthatói egymás konjugáltjai, nincs közös komplex gyökük, és a szorzatuk \(\displaystyle M\). A \(\displaystyle M^+\) polinom együtthatóinak valós és képzetes részét véve,

\(\displaystyle M^+ = A + i\cdot B \quad\text{és}\quad M^- = A - i\cdot B, \)

ahol az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) polinomok valós együtthatósak.

Vegyük észre, hogy az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) polinomoknak nem lehet közös komplex gyöke: ha valamilyen \(\displaystyle c\) komplex számra \(\displaystyle A(c)=B(c)=0\) lenne, akkor \(\displaystyle M^+(c)=A(c)+i\cdot B(c)=0\) és \(\displaystyle M^-(c)=A(c)-i\cdot B(c)=0\) egyszerre teljesülne, márpedig az \(\displaystyle M^+\) és \(\displaystyle M^-\) polinomoknak nincs komplex gyöke. Az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) polinomok tehát relatív prímek.

Az Euklideszi algoritmus előállít olyan \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\), szintén valós együtthatós polinomokat, amelyekre

\(\displaystyle AC-BD = \textrm{lnko}\big(A,B\big) = 1. \)

Ezekre a polinomokra

\(\displaystyle \big(A+iB\big)\big(C+iD\big) = 1 + i\big(AD+BC\big) \quad\text{és}\quad \big(A-iB\big)\big(C-iD\big) = 1 - i\big(AD+BC\big), \)

így

\(\displaystyle M \cdot \big(C^2+D^2\big) = \big(A+iB\big)\big(A-iB\big) \big(C+iD\big)\big(C-iD\big) = \Big(1+i\big(AD+BC\big)\Big)\Big(1-i\big(AD+BC\big)\Big) = 1 + \big(AD+BC\big)^2, \)

\(\displaystyle M \cdot \big(C^2+D^2\big) P^2 = P^2 + \Big(\big(AD+BC\big)P\Big)^2. \)

A \(\displaystyle Q=\big(AD+BC\big)P\) választás esetén tehát a \(\displaystyle P^2+Q^2\) polinom osztható az \(\displaystyle M\) polinommal.

Statisztika:

8 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Baran Zsuzsanna, Bukva Balázs, Lajkó Kálmán, Matolcsi Dávid, Williams Kada.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2016. novemberi matematika feladatai