Problem A. 744. (February 2019)
A. 744. Show that for every odd integer \(\displaystyle N>5\) there exist vectors \(\displaystyle \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\) in (three-dimensional) space which are pairwise perpendicular, not parallel with any of the coordinate axes, have integer coordinates, and satisfy \(\displaystyle |\mathbf{u}|=|\mathbf{v}|=|\mathbf{w}|=N\).
Based on problem 2 of the 2018 Kürschák contest
(7 pont)
Deadline expired on March 11, 2019.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldásvázlat. A koordinátarendszer térbeli elforgatásai és forgatva nyújtásai jól leírhatók kvaterniókkal, lásd itt: https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternions_and_spatial_rotation. Legyen \(\displaystyle \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\) a három koordináta-egységvektor, avagy a három képzetes egységkvaternió.
Vegyünk egy olyan \(\displaystyle \mathbf{a}=a+b\mathbf{i}+c\mathbf{j}+d\mathbf{k} \) kvaterniót, amelyre \(\displaystyle a,b,c,d\) egész számok és \(\displaystyle |\mathbf{a}|^2=a^2+b^2+c^2+d^2=N\). Az \(\displaystyle \mathbf{x}\mapsto\mathbf{a}\mathbf{x}\overline{\mathbf{a}}\) transzformáció egy forgatva nyújtás a \(\displaystyle b\mathbf{i} +c\mathbf{j} +d\mathbf{k} \) vektor körül; az elforgatás félszögének koszinusza \(\displaystyle \frac{|a|}{N}\), szinusza \(\displaystyle \frac{\sqrt{b^2+c^2+d^2}}{N}\), a nyújtás aránya \(\displaystyle |\mathbf{a}|^2=a^2+b^2+c^2+d^2=N\). Legyen
\(\displaystyle \mathbf{u}=\mathbf{a}\mathbf{i}\overline{\mathbf{a}}, \quad \mathbf{v}=\mathbf{a}\mathbf{j}\overline{\mathbf{a}} \quad\text{és}\quad \mathbf{w}=\mathbf{a}\mathbf{k}\overline{\mathbf{a}}; \)
ezek tehát egymásra merőlegesek, a hosszuk \(\displaystyle N\), a koordinátáik egészek:
$$\begin{align*} \mathbf{u} &= (a^2+b^2-c^2-d^2)\mathbf{i} + 2(ad+bc)\mathbf{j} + 2(bd-ac)\mathbf{k}, \\ \mathbf{v} &= 2(bc-ad)\mathbf{i} + (a^2-b^2+c^2-d^2)\mathbf{j} + 2(ab+cd)\mathbf{k}, \\ \mathbf{w} &= 2(ac+bd)\mathbf{i} + 2(cd-ab)\mathbf{j} + (a^2-b^2-c^2+d^2)\mathbf{k}. \end{align*}$$(Azt, hogy ezek a vektorok merőlegesek, és a hosszuk \(\displaystyle \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}\), közvetlenül is ellenőrizhetjük, a kvaterniók csak a megtalálásukban segítettek.)
Már csak azt a balesetet kell elkerülnünk, ha \(\displaystyle \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\) valamelyike egy koordináta-vektor többszöröse.
Vegyük észre, hogy \(\displaystyle a^2+b^2-c^2-d^2\) nem lehet nulla, mert páratlan. Emiatt \(\displaystyle \mathbf{u}\) nem eshet egybe sem \(\displaystyle \pm N\mathbf{j}\)-vel, sem \(\displaystyle \pm N\mathbf{k}\)-val; \(\displaystyle \mathbf{u}=\pm N\mathbf{i}\) pedig csak akkor lehet, ha \(\displaystyle a=b=0\) vagy \(\displaystyle c=d=0\). Ugyanez megy \(\displaystyle \mathbf{v}\)-re és \(\displaystyle \mathbf{w}\)-re. Tehát elég, ha az \(\displaystyle a,b,c,d\) között legfeljebb csak egy nulla szerepel.
Konkrét példák:
| \(\displaystyle N\) | \(\displaystyle (a,b,c,d)\) | \(\displaystyle \mathbf{u}\) | \(\displaystyle \mathbf{v}\) | \(\displaystyle \mathbf{w}\) |
| \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle (0,1,1,1)\) | \(\displaystyle (-1,2,2)\) | \(\displaystyle (2,-1,2)\) | \(\displaystyle (2,2,-1)\) |
| \(\displaystyle 7\) | \(\displaystyle (2,1,1,1)\) | \(\displaystyle (3,6,-2)\) | \(\displaystyle (-2,3,6)\) | \(\displaystyle (6,-2,3)\) |
| \(\displaystyle 9\) | \(\displaystyle (2,2,1,0)\) | \(\displaystyle (7,4,-4)\) | \(\displaystyle (4,1,8)\) | \(\displaystyle (4,-8,-1)\) |
| \(\displaystyle 11\) | \(\displaystyle (3,1,1,0)\) | \(\displaystyle (9,2,-6)\) | \(\displaystyle (2,9,6)\) | \(\displaystyle (6,-6,7)\) |
| \(\displaystyle 13\) | \(\displaystyle (1,2,2,2)\) | \(\displaystyle (-3,12,4)\) | \(\displaystyle (4,-3,12)\) | \(\displaystyle (12,4,-3)\) |
Ezek után csak az lehet kérdés, hogy milyen \(\displaystyle N\)-khez léteznek olyan \(\displaystyle a,b,c,d\) egészek, amelyek közül legfeljebb az egyik \(\displaystyle 0\), és \(\displaystyle a^2+b^2+c^2+d^2=N\), avagy milyen \(\displaystyle N\)-ek állnak elő három vagy négy pozitív négyzetszám összegeként.
És hát néhány kivétellel minden pozitív egész ilyen, a Legendre-féle három négyzet tétellel (https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre%27s_three-square_theorem) gyorsan be lehet fejezni a megoldást.
Ha \(\displaystyle N=8k+3\), akkor a fenti tétel szerint \(\displaystyle N\) legfeljebb három négyzetszám összege, de kettő nem lehet, kész.
Ha \(\displaystyle N=8k+1\), akkor \(\displaystyle 8k-3\) két vagy három négyzet összege; ehhez hozzáadunk \(\displaystyle 4\)-et.
Ha \(\displaystyle N =8k+7\), akkor \(\displaystyle 8k+3\) három négyzet összege; ehhez hozzáadunk \(\displaystyle 4\)-et.
Ha \(\displaystyle N=8k+5\ge21\), akkor \(\displaystyle 8k-11\) két vagy három négyzet összege; ehhez hozzáadunk \(\displaystyle 16\)-ot.
Ezek után már csak az \(\displaystyle N=13\) maradt ki, erre a fenti táblázatban mutattunk példát.
Statistics:
4 students sent a solution. 7 points: Schrettner Jakab. 2 points: 1 student. 1 point: 1 student. 0 point: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, February 2019