Az A. 840. feladat (2022. december)

A. 840. Az $\displaystyle ABC$ háromszög beírt köre az oldalakat az $\displaystyle X$, $\displaystyle Y$ és $\displaystyle Z$ pontban érinti. Az $\displaystyle XYZ$ háromszögben az $\displaystyle X$ és az $\displaystyle Y$ csúcsból induló magasságok talppontjai $\displaystyle X'$ és $\displaystyle Y'$. Az $\displaystyle X'Y'$ egyenes az $\displaystyle ABC$ háromszög körülírt körét a $\displaystyle P$ és a $\displaystyle Q$ pontban metszi. Bizonyítandó, hogy $\displaystyle X$, $\displaystyle Y$, $\displaystyle P$ és $\displaystyle Q$ egy körre esnek.

Javasolta: Simon László (Budapest)

(7 pont)

A beküldési határidő 2023. január 10-én LEJÁRT.

Legyen $\displaystyle XY$ és $\displaystyle X'Y'$ metszéspontja $\displaystyle D$. Mivel $\displaystyle X$, $\displaystyle Y$, $\displaystyle X'$ és $\displaystyle Y'$ egy körre esnek ($\displaystyle XY$ Thálesz-körére), ezért $\displaystyle DX\cdot DY=DX'\cdot DY'$. Ez azt jelenti, hogy a $\displaystyle D$ pont hatványa ugyanakkora az $\displaystyle XYZ$ háromszög körülírt körére és Feuerbach-körére nézve, azaz rajta van a két kör hatványvonalán. Most megmutatjuk, hogy ezzel a két körrel koaxiális az eredeti háromszög körülírt köre is (azaz mindhárom körnek ugyanaz a hatványvonala). Ezzel készen leszünk, mert a $\displaystyle D$ pont hatványa az $\displaystyle ABC$ körülírt körére $\displaystyle DP\cdot DQ$, és így $\displaystyle DX\cdot DY=DP\cdot DQ$, vagyis $\displaystyle X$, $\displaystyle Y$, $\displaystyle P$ és $\displaystyle Q$ egy körre esnek.

Ehhez először belátjuk, hogy az $\displaystyle XYZ$ háromszög Feuerbach köre az $\displaystyle ABC$ háromszög körülírt körének inverz képe az $\displaystyle XYZ$ háromszög körülírt körére nézve. Ez kijön abból a jól ismert állításból, hogy egy külső pont inverz képe megegyezik a pontból húzott érintők érintési pontjai által alkotott szakasz felezőpontjával, azaz pl. az $\displaystyle A$ pont inverz képe az $\displaystyle YZ$ szakasz felezőpontja, ami rajta van az $\displaystyle XYZ$ háromszög Feuerbach-körén, és hasonló igaz $\displaystyle B$ és $\displaystyle C$ inverz képére is.

Végül azt kell megmutatnunk, hogy az inverzió alapköre és két kör, melyek egymás inverz képei, koaxiálisak (legyenek a körök $\displaystyle k$, $\displaystyle l$ és $\displaystyle l'$). Ez nyilvánvaló, ha a körök metszik az inverzió alapkörét, de esetünkben sajnos közös pont nélküli körökről van szó. Megjegyezzük, hogy mivel a három kör középpontjai egy egyenesre esnek, ezért elég egyetlen pontot találni, melynek mindhárom körre nézve ugyanakkora a hatványa.

Általános esetben a következő módon járhatunk el: vegyünk egy tetszőleges kört (ez lesz $\displaystyle \gamma$), amely merőleges $\displaystyle k$-ra és $\displaystyle l$-re (ezeket a köröket megkapjuk, ha $\displaystyle k$ és $\displaystyle l$ hatványvonalán választunk egy pontot a körökön kívül, ez lesz $\displaystyle \gamma$ középpontja, és onnan érintőket húzunk $\displaystyle k$-hoz és $\displaystyle l$-hez, $\displaystyle \gamma$ sugarát pedig a középpont és az érintési pontok távolságának választjuk). Mivel $\displaystyle \gamma$ merőleges az inverzió alapkörére, ezért a képe az inverziónál saját maga (ez az inverzió jól ismert tulajdonsága), így $\displaystyle l$ képe az inverziónál $\displaystyle l'$, és az inverzió szögtartó, így $\displaystyle \gamma$ az $\displaystyle l'$ körre is merőleges lesz. Ekkor viszont $\displaystyle \gamma$ középpontjának egyforma mindhárom körre vonatkozó hatványa (a sugarának a négyzete), és ebből következik az állítás.

Statisztika:

20 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Diaconescu Tashi, Foris Dávid, Lovas Márton, Molnár-Szabó Vilmos, Móricz Benjámin, Németh Márton, Seres-Szabó Márton, Sida Li, Simon László Bence, Sztranyák Gabriella, Tarján Bernát, Varga Boldizsár, Virág Rudolf, Wiener Anna.
6 pontot kapott:	Chrobák Gergő.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2022. decemberi matematika feladatai