Az A. 862. feladat (2023. október)

A. 862. Az \(\displaystyle \omega\) körbe írt \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszögben \(\displaystyle F_A\), \(\displaystyle F_B\), \(\displaystyle F_C\) és \(\displaystyle F_D\) rendre az \(\displaystyle \omega\) kör \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CD\), illetve \(\displaystyle DA\) íveinek felezőpontja, továbbá \(\displaystyle I_A\), \(\displaystyle I_B\), \(\displaystyle I_C\) és \(\displaystyle I_D\) a \(\displaystyle DAB\), \(\displaystyle ABC\), \(\displaystyle BCD\), illetve \(\displaystyle CDA\) háromszögekbe írt kör középpontja. Legyen \(\displaystyle \omega_A\) az a kör, amely az \(\displaystyle F_A\) pontban belülről érinti \(\displaystyle \omega\)-t és érinti a \(\displaystyle CD\) szakaszt, továbbá legyen \(\displaystyle \omega_C\) az a kör, amely az \(\displaystyle F_C\) pontban belülről érinti \(\displaystyle \omega\)-t és érinti az \(\displaystyle AB\) szakaszt. Végül legyen \(\displaystyle T_B\) az \(\displaystyle \omega\) kör és az \(\displaystyle F_BI_BI_C\) kör második, \(\displaystyle F_B\)-től különböző metszéspontja, és legyen \(\displaystyle T_D\) az \(\displaystyle \omega\) kör és az \(\displaystyle F_DI_DI_A\) kör második, \(\displaystyle F_D\)-től különböző metszéspontja.

Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle \omega_A\) és \(\displaystyle \omega_C\) körök hatványvonala átmegy a \(\displaystyle T_B\) és a \(\displaystyle T_D\) ponton.

Javasolta: Kós Géza (Budapest)

(7 pont)

A beküldési határidő 2023. november 10-én LEJÁRT.

Csak azt fogjuk bizonyítani, hogy a vizsgált hatványvonal átmegy a \(\displaystyle T_D\) ponton, hasonlóan igazolható, hogy \(\displaystyle T_B\)-n is átmegy. A megoldás, amit leírunk, nem működik abban az esetben, ha \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) párhozamos, mivel akkor \(\displaystyle X\) és \(\displaystyle Y\) egybeesik (mindkettő az ideális pont), és számunkra fontos lesz, hogy meghatároznak egy egyenest. A feladatot még akkor is nehéz elemien megoldani, ha feltesszük, hogy \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) párhuzamos. Mi viszont most kicsit csalunk, és egy nem teljesen precíz (de könnyen precízzé tehető) analízist használó indoklással rendezzük le ezt az esetet. Tegyük fel, hogy az állítás mindig igaz, ha \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) nem párhuzamos. Ekkor ha \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) rögzített, és \(\displaystyle D\)-t folytonosan mozgatjuk az \(\displaystyle ABC\) köréírt körén, akkor könnyű meggondolni, hogy a vizsgált hatványvonal és \(\displaystyle T_D\) is folytonosan mozog. Emiatt, ha minden esetben igaz az állítás, attól az egytől eltekintve, amikor \(\displaystyle AB\) éppen párhuzamos \(\displaystyle CD\)-vel, akkor ebben az esetben is igaznak kell lennie.

Mostantól feltesszük, hogy \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) nem párhuzamos, legyen ezen két egyenes metszéspontja \(\displaystyle X\). Ebből az is következik, hogy az \(\displaystyle ABCD\) körhöz \(\displaystyle F_A\)-ban és \(\displaystyle F_C\)-ben húzott értintők metszik egymást, legyen a metszéspontjuk \(\displaystyle Y\). A bizonyítás első kulcs lépése annak az igazolása, hogy \(\displaystyle \omega_A\) és \(\displaystyle \omega_C\) hatványvonala éppen az \(\displaystyle XY\) egyenes. Az \(\displaystyle ABCD\) kör, az \(\displaystyle \omega_A\) és az \(\displaystyle \omega_C\) kör hatványpontja éppen az \(\displaystyle Y\) pont, így \(\displaystyle Y\) tényleg ráesik az \(\displaystyle \omega_A\) és \(\displaystyle \omega_C\) hatványvonalára.

Most igazoljuk, hogy \(\displaystyle X\) is rajta van a hatványvonalon. Érintse az \(\displaystyle \omega_A\) és \(\displaystyle \omega_C\) a \(\displaystyle CD\) és \(\displaystyle AB\) szakaszt rendre a \(\displaystyle H\) és \(\displaystyle G\) pontban. Az \(\displaystyle F_A\) pontból az \(\displaystyle \omega_A\) kört az \(\displaystyle ABCD\) körbe nagyítva a \(\displaystyle H\) pont az \(\displaystyle F_C\) pontba megy át, így egyrészt, \(\displaystyle F_A\), \(\displaystyle H\) és \(\displaystyle F_C\) egy egyenesre esnek, másrészt, a megfelelő érintők, azaz a \(\displaystyle CD\) egyenes és az \(\displaystyle F_CY\) egyenes párhuzamosak. Hasonlóan \(\displaystyle F_C\)-ből az \(\displaystyle \omega_C\) kört az \(\displaystyle ABCD\) körbe nagyítva kapjuk, hogy \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle F_AY\) párhuzamos, valamint hogy \(\displaystyle G\) is ráesik az \(\displaystyle F_AF_C\) egyenesre. Emiatt a \(\displaystyle HGX\) és \(\displaystyle F_CF_AY\) háromszögek hasonlóak. Világos, hogy \(\displaystyle YF_A=YF_C\), így \(\displaystyle GX=HX\), ami éppen azt jelenti, hogy létezik egy olyan \(\displaystyle \omega\) kör, ami az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) egyeneseket rendre a \(\displaystyle G\) és \(\displaystyle H\) pontban érinti. Az \(\displaystyle \omega\), \(\displaystyle \omega_A\) és \(\displaystyle \omega_C\) kör hatványpontja éppen \(\displaystyle X\), így \(\displaystyle X\) tényleg rajta van az \(\displaystyle \omega_A\) és \(\displaystyle \omega_C\) hatányvonalán, tehát az \(\displaystyle XY\) egyenes tényleg egybeesik ezzel a hatványvonallal.

Használni fogunk két ismert állítást, aki ezeket nem ismeri bizonyítsa be magának, mert nagyon hasznosak, és mindkettő kijön rövid szögszámolásból. Ismert, hogy minden háromszögben egy csúcs, a beírt kör középpontja és a szemközti ívfelezőpont egy egyenesen van. Emiatt a \(\displaystyle B, I_A, F_D\), a \(\displaystyle C, I_D, F_D\), a \(\displaystyle D, I_A, F_A\) és az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle I_D\), \(\displaystyle F_C\) pontháromasok egy egyenesre esnek. Továbbá az is ismert, hogy egy háromszögben egy ívfelezőpont egyenlő távolságra van a szomszédos csúcsoktól és a beírt kör középpontjától. Speciálisan \(\displaystyle F_DA=F_DI_A=F_DD\) és \(\displaystyle F_DA=F_DI_D=F_DD\), azaz \(\displaystyle A\), \(\displaystyle I_A\), \(\displaystyle I_D\) és \(\displaystyle D\) egy \(\displaystyle F_D\) középpontú körön helyezkednek el.

Az \(\displaystyle AI_AI_DD\) illetve az \(\displaystyle ABCD\) körökben alkalmazott kerületi szögek tétele alapján

\(\displaystyle DI_AI_D \sphericalangle=DAI_D \sphericalangle=DAF_C \sphericalangle=DF_AF_C \sphericalangle,\)

ami éppen azt jelenti, hogy \(\displaystyle I_AI_D\) és \(\displaystyle F_AF_C\) párhuzamos.

Tekintve az \(\displaystyle AI_AI_DD\), \(\displaystyle ABCD\) és \(\displaystyle F_DT_DI_AI_D\) körök hatványpontját azt kapjuk, hogy a \(\displaystyle T_DF_D\), \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle I_AI_D\) egyenesek egy ponton mennek át. Most írjunk fel egy Pascal-tételt a \(\displaystyle DABF_DT_DF_A\) húrhatszögre. Azt kapjuk, hogy a \(\displaystyle DA \cap F_DT_D\) pont, az \(\displaystyle AB \cap T_DF_A\) pont, jelöljük ezt \(\displaystyle M\)-mel, illetve a \(\displaystyle BF_D \cap F_AD=I_A\) pont egy egyenesre esik. Láttuk, hogy \(\displaystyle DA \cap F_DT_D\) az \(\displaystyle I_AI_D\) egyenesre esik, azaz \(\displaystyle I_A, I_D\) és \(\displaystyle M\) egy egyenesen vannak. Hasonlóan, ha \(\displaystyle N\) jelöli az \(\displaystyle F_CT_D\) és a \(\displaystyle CD\) egyenesek metszéspontját, akkor \(\displaystyle N\) is ráesik az \(\displaystyle I_AI_D\) egyenesre.

Ezek alapján az \(\displaystyle MN\) egyenes párhuzamos az \(\displaystyle F_AF_C\) egyenessel, vagyis az \(\displaystyle NMX\) és \(\displaystyle F_CF_AY\) háromszögek hasonlóak, sőt, minden oldaluk páruzamos, azaz van egy hasonlósági pontjuk, tehát az \(\displaystyle NF_C\), \(\displaystyle M_FA\) és \(\displaystyle XY\) egyenesek egy ponton mennek át. Azonban az előbbi kettőről most láttuk be, hogy éppen \(\displaystyle T_D\)-ben metszik egymást, \(\displaystyle XY\) pedig az \(\displaystyle \omega_A\) és \(\displaystyle \omega_C\) hatványvonala, tehát ez éppen a bizonyítandó állítást adja.

Statisztika:

13 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Bodor Mátyás, Diaconescu Tashi, Foris Dávid, Philip Stefanov, Simon László Bence, Varga Boldizsár, Virág Rudolf, Wiener Anna, Zömbik Barnabás.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2023. októberi matematika feladatai