A B. 3827. feladat (2005. május)

B. 3827. Az AD szakasz érinti az ABC háromszög körülírt körét, az AC szakasz pedig az ABD háromszög körülírt körét. Mutassuk meg, hogy

AC²^.BD=AD²^.BC.

(4 pont)

A beküldési határidő 2005. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje k₁ és k₂ az ABC illetve ABD háromszög köré írható kört, melyek sugara rendre r₁ és r₂. Ha a BAC illetve BAD szöget $\gamma$ és $\delta$ jelöli, akkor $\gamma$ a k₁ körben a BC húrhoz tartozó kerületi szög, vagyis a szinusz tétel szerint BC=2r₁sin $\gamma$ . Hasonlóképpen kapjuk, hogy BD=2r₂sin $\delta$ . Mivel AD érinti a k₁ kört, $\delta$ egyben a k₁ körben az AB húrhoz tartozó kerületi szög is, ami miatt AB=2r₁sin $\delta$ , és ugyanígy AB=2r₂sin $\gamma$ is fennáll. Végül az $\alpha$ = $\gamma$ + $\delta$ jelöléssel élve, $\alpha$ a k₁ körben az AC húrhoz tartozó kerületi szög, míg a k₂ körben az AD húrhoz tartozik. Ezért AC=2r₁sin $\alpha$ és AD=2r₂sin $\alpha$ . Ezek alapján

AC²^.BD=(2r₁sin $\alpha$ )²(2r₂sin $\delta$ )=(4r₁r₂sin² $\alpha$ )(2r₁sin $\delta$ )=(4r₁r₂sin² $\alpha$ )AB

és

AD²^.BC=(2r₂sin $\alpha$ )²(2r₁sin $\gamma$ )=(4r₁r₂sin² $\alpha$ )(2r₂sin $\gamma$ )=(4r₁r₂sin² $\alpha$ )AB,

bizonyítván az állítást.

Statisztika:

84 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: 72 versenyző.

3 pontot kapott: 8 versenyző.

2 pontot kapott: 2 versenyző.

1 pontot kapott: 1 versenyző.

0 pontot kapott: 1 versenyző.

A KöMaL 2005. májusi matematika feladatai

84 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	72 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?