Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3827. feladat (2005. május)

B. 3827. Az AD szakasz érinti az ABC háromszög körülírt körét, az AC szakasz pedig az ABD háromszög körülírt körét. Mutassuk meg, hogy

AC2.BD=AD2.BC.

(4 pont)

A beküldési határidő 2005. június 15-én LEJÁRT.


Megoldás. Jelölje k1 és k2 az ABC illetve ABD háromszög köré írható kört, melyek sugara rendre r1 és r2. Ha a BAC illetve BAD szöget \gamma és \delta jelöli, akkor \gamma a k1 körben a BC húrhoz tartozó kerületi szög, vagyis a szinusz tétel szerint BC=2r1sin \gamma. Hasonlóképpen kapjuk, hogy BD=2r2sin \delta. Mivel AD érinti a k1 kört, \delta egyben a k1 körben az AB húrhoz tartozó kerületi szög is, ami miatt AB=2r1sin \delta, és ugyanígy AB=2r2sin \gamma is fennáll. Végül az \alpha=\gamma+\delta jelöléssel élve, \alpha a k1 körben az AC húrhoz tartozó kerületi szög, míg a k2 körben az AD húrhoz tartozik. Ezért AC=2r1sin \alpha és AD=2r2sin \alpha. Ezek alapján

AC2.BD=(2r1sin \alpha)2(2r2sin \delta)=(4r1r2sin2\alpha)(2r1sin \delta)=(4r1r2sin2\alpha)AB

és

AD2.BC=(2r2sin \alpha)2(2r1sin \gamma)=(4r1r2sin2\alpha)(2r2sin \gamma)=(4r1r2sin2\alpha)AB,

bizonyítván az állítást.


Statisztika:

84 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:72 versenyző.
3 pontot kapott:8 versenyző.
2 pontot kapott:2 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2005. májusi matematika feladatai