Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 3835. feladat (2005. szeptember)

B. 3835. Idén tavasszal a női kézilabda EHF kupában három magyar csapat is bejutott a legjobb nyolc közé. A nyolc csapatot sorsolással összepárosították. A sorsoláson mindhárom magyar csapat külföldi ellenfelet kapott. Mennyi volt ennek az esélye?

(3 pont)

A beküldési határidő 2005. október 17-én LEJÁRT.


1. megoldás. Először számoljuk össze az összes lehetséges párosítások számát. Számozzuk meg a csapatokat 1-től 8-ig, a három magyar csapat kapja az 1, 2, 3 sorszámokat. Először válasszunk ellenfelet az 1. csapatnak; ez 7-féle lehet. Ezután a megmaradt 6 csapat közül a legkisebb sorszámúnak válasszunk ellenfelet; ez 5-féle lehet. A megmaradt 4 csapat közül a legkisebb sorszámú ellenfele 3-féle lehet, az utolsó pár ezek után egyértelmű. Az esetek száma sohasem függ az előzményektől, az összes lehetséges párosítások száma tehát 7.5.3.1=105.

Most számoljuk össze a kedvező eseteket, amikor mindegyik magyar csapat külföldi ellenfelet kap. Az 1. csapatnak 5-féle ellenfél közül választhatunk. Ezután a 2. csapat a megmaradt 4 külföldi közül kaphat ellenfelet, a 3. csapat ellenfele 3-féle lehet, az utolsó párt a két megmaradó külföldi csapat alkotja. A kedvező párosítások száma tehát 5.4.3.

A keresett valószínűség p=\frac{5\cdot4\cdot3}{7\cdot5\cdot3}=\frac47.

2. megoldás. Legyen a három magyar csapat A, B és C. Az A csapat ellenfele 7-féle lehet, mindegyik azonos, 1/7 valószínűséggel. Ezért annak esélye, hogy az A és B csapatokat összepárosítják, 1/7. Ugyanennyi a valószínűsége annak, hogy az A és C, illetve a B és C csapatokat összepárosítják. A háromféle kedvezőtlen esemény páronként kizárja egymást, és minden más eset kedvező. Ezért a keresett valószínűség:

p=1-3\cdot\frac17=\frac47.


Statisztika:

394 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:217 versenyző.
2 pontot kapott:29 versenyző.
1 pontot kapott:66 versenyző.
0 pontot kapott:79 versenyző.
Nem versenyszerű:3 dolgozat.

A KöMaL 2005. szeptemberi matematika feladatai