Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 3837. feladat (2005. szeptember)

B. 3837. Jelölje P, illetve Q az ABC háromszög AB oldalára kifelé rajzolt ABDE négyzet és a BC oldalára kifelé rajzolt BCGH négyzet középpontját. Az AC és a DH szakaszok felezőpontja R, illetve S. Mutassuk meg, hogy a P, Q, R és S pontok egy négyzet csúcsai.

(4 pont)

A beküldési határidő 2005. október 17-én LEJÁRT.


Megoldás.

Legyenek X,Y,U és V rendre az AB,BC,BH és BD szakaszok felezőpontjai, Z pedig az Y pontnak a QR szakasz felezőpontjára vonatkozó tükörképe. Mivel az SU szakasz a BDH háromszög középvonala, SU párhuzamos és egyenlő hosszú a VB szakasszal, és így a PX szakasszal is. Hasonlóképpen az UQ és XR szakaszok is párhuzamosak és egyenlő hosszúak. Ezért az UQS - esetleg elfajuló - háromszög eltolással származtatható az XRP háromszögből, amiért is a PRQS négyszög paralelogramma. QZ párhuzamos és egyenlő hosszú az YR szakasszal, ezért BX-szel is, vagyis a PX szakaszból 90o-os elforgatással keletkezik. ZR pedig párhuzamos és egyenlő hosszú a QY szakasszal, amely viszont az XR-rel párhuzamos és egyenlő hosszú BY szakaszból keletkezik ugyancsak 90o-os elforgatással. Következésképpen a QZR háromszög a PXR háromszögből kapható meg 90o-os elforgatással, vagyis a QR szakasz merőleges a PR szakaszra, és hosszuk megegyezik. Ebből már következik, hogy a PRQS paralelogramma négyzet.


Statisztika:

216 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:159 versenyző.
3 pontot kapott:24 versenyző.
2 pontot kapott:14 versenyző.
1 pontot kapott:6 versenyző.
0 pontot kapott:13 versenyző.

A KöMaL 2005. szeptemberi matematika feladatai