Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 3857. feladat (2005. november)

B. 3857. Egy trapéz egyik alapja és két szára egységnyi. Válasszuk meg a trapéz másik alapját úgy, hogy területe a lehető legnagyobb legyen.

(4 pont)

A beküldési határidő 2005. december 15-én LEJÁRT.


Megoldás: Ha a trapéz másik alapja 1-nél rövidebb, akkor a szárakat kifelé fordítva olyan trapézt kapunk, amelynek magassága ugyanannyi, de az alapja már 1-nél hosszabb. Feltehetjük tehát, hogy a trapéz alapja 1+2x, ahol x\ge0. Az x=0 esetben azt is feltehetjük, hogy a trapéz magassága 1, így általában is igaz lesz, hogy a trapéz magassága m=\sqrt{1-x^2}. Egy ilyen trapéz területe t=(1+x)m, ami akkor a legnagyobb, ha

t2=(1+x)2m2=(1+x)2(1-x2)=(1+x)3(1-x)

a lehető legnagyobb. A számtani és mértani közepek között fennálló egyenlőtlenség szerint azonban

\root4\of{t^2\over 27}=\root4\of{\Bigl({1+x\over 3}\Bigr)^3(1-x)}\le
{{1+x\over 3}+{1+x\over 3}+{1+x\over 3}+(1-x)\over 4}={1\over 2},

ahol egyenlőség pontosan az {1+x\over 3}=1-x, vagyis x={1\over 2} esetben áll fenn. A trapéz területe tehát akkor a lehető legnagyobb, ha másik alapjának hossza 2 egység, ekkor területe t=3\sqrt{3}/4 területegység.


Statisztika:

213 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Cseh Ágnes, Dombi Soma, Dudás László, Faragó Kornél, Farkas Márton, Fegyverneki Tamás, Gyurcsik Judit, Hegyi Péter, Horváth 151 Gábor, Kardos Kinga Gabriela, Károlyi Márton, Kovács 129 Péter, Lamm Éva, Lovász László Miklós, Magda Gábor, Mészáros Gábor, Müller Márk, Nagy Gergely Gábor, Orosz Katalin, Quittner Bence, Szabó 108 Tamás.
3 pontot kapott:108 versenyző.
2 pontot kapott:44 versenyző.
1 pontot kapott:24 versenyző.
0 pontot kapott:12 versenyző.
Nem versenyszerű:4 dolgozat.

A KöMaL 2005. novemberi matematika feladatai