Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3863. feladat (2005. december)

B. 3863. Mutassuk meg, hogy az

1^{2006}-2^{2006}+3^{2006}-4^{2006}+\ldots-2004^{2006}+2005^{2006}

szám osztható 1003-mal. Osztható-e 2006-tal is?

(3 pont)

A beküldési határidő 2006. január 16-án LEJÁRT.

Megoldás:

Írjuk át a szóban forgó számot

\sum_{i=1}^{1002}(-1)^i\bigl\{ (i+1003)^{2006}-i^{2006}\bigr\}+1003^{2006}

alakra. Ha a\neb egész számok, n pedig tetszőleges természetes szám, akkor an-bn osztható (a-b)-vel. Ennek alapján az állí tást könnyűszerrel leolvashatjuk. Másrészt a számot úgy kapjuk, hogy 1003 páratlan szám összegéből vonunk le páros számokat, vagyis a szám maga páratlan, így 2006-tal már nem osztható.

Statisztika:

239 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:189 versenyző.
2 pontot kapott:20 versenyző.
1 pontot kapott:17 versenyző.
0 pontot kapott:13 versenyző.

A KöMaL 2005. decemberi matematika feladatai