Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 3866. feladat (2005. december)

B. 3866. Egy kör AB ívének melyik P pontjára maximális az ABP háromszög kerülete?

(4 pont)

A beküldési határidő 2006. január 16-án LEJÁRT.


Megoldás: Az APB szög az AB ív minden pontjára ugyankkora, jelöljük \alpha-val. Mérjük fel a BP szakasz P-n túli meghosszabbí tására P-ből az AP szakaszt, így kapjuk a P' pontot. Az APP' egyenlő szárú háromszögben tehát az AP'P szög (mely egyenlő az AP'B szöggel) éppen \alpha/2<90o. Ha tehát P befutja az AB ívet, akkor P' egy, az AB szakasz fölé rajzolt \alpha/2 szöghöz tartozó látóköríven halad végig. Mivel az ABP háromszög kerülete AB+BP', ez akkor lesz maximális, ha BP' a lehető legnagyobb, vagyis ha éppen az előbb említett látókörív egy átmérője. Ez akkor következik be, ha a BAP' szög derékszög, vagyis ha a P pont éppen a BP' szakasz felezőpontja, amikor is BP=PP'=AP. P-t tehát az adott AB ív felezőpontjának kell választanunk.


Statisztika:

164 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:109 versenyző.
3 pontot kapott:21 versenyző.
2 pontot kapott:10 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:21 versenyző.

A KöMaL 2005. decemberi matematika feladatai