Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 3870. feladat (2005. december)

B. 3870. Az F1 és F2 fókuszú ellipszisnek P a nagytengely végpontjaitól különböző pontja. Mutassuk meg, hogy


\mathop{\rm tg} \frac{PF_1F_2\sphericalangle}{2}\cdot \mathop{\rm tg} \frac{PF_2F_1\sphericalangle}{2}

értéke nem függ P-től.

(4 pont)

A beküldési határidő 2006. január 16-án LEJÁRT.


Megoldás: Legyen PF_1F_2\sphericalangle=\alpha=2x, PF_2F_1\sphericalangle=\beta=2y és F_2PF_1\sphericalangle=\gamma=2z, ekkor x+y=90o-z. Ha a szóban forgó mennyiséget u-val jelöljük, akkor, mivel u\ne0,

{1\over u}-1= {\cos x\cos y\over \sin x\sin y}-1={\cos(x+y)\over \sin x\sin
y}>0,

vagyis

{u\over 1-u} ={\sin x\sin y\over \sin z}.

Legyen PF2=a,PF2=b,F1F2=c, ekkor a+b csak az adott ellipszistől függ, vagyis

t={a+b\over c}={\sin\alpha+\sin\beta \over \sin\gamma}=
{2\sin(x+y)\cos(x-y)\over 2\sin z\cos z}={\cos x\cos y+\sin x\sin y\over \sin
z}

értéke is független P-től. Mivel sin z=cos (x+y)=cos xcos y-sin xsin y, kapjuk, hogy

0<t=1+2{\sin x\sin y\over \sin z}=1+2{u\over 1-u}={1+u\over 1-u}.

Innen látszik, hogy u={t-1\over t+1} értéke valóban csak magától az ellipszistől függ.


Statisztika:

47 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Almási 270 Gábor András, Blázsik Zoltán, Bock Lilla, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Cseh Ágnes, Cserép Máté, Csizmadija Laura, Dányi Zsolt, Farkas Gergő, Fegyverneki Tamás, Herber Máté, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Hülber Tímea, Kardos Kinga Gabriela, Komáromy Dani, Kornis Bence, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Kozma Márton, Kunovszki Péter, Majoros Csilla, Nagy 235 János, Németh Kitti Noémi, Páldy Sándor, Pálovics Róbert, Pásztor Attila, Rábai András, Salát Zsófia, Sommer Dániel, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szaller Dávid, Szalóki Dávid, Szentandrási István, Szűcs Gergely, Tallián György, Tomon István, Tossenberger Anna, Tóth 796 Balázs, Tóthmérész Lilla, Werner Miklós.
3 pontot kapott:Peregi Tamás, Priksz Ildikó.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

A KöMaL 2005. decemberi matematika feladatai