A B. 3909. feladat (2006. április)

B. 3909. Egy szabályos pénzérmét 12-szer feldobunk egymás után és leírjuk a dobások eredményét. Mi a valószínűsége annak, hogy nem követi egymást három fej?

(5 pont)

A beküldési határidő 2006. május 18-án LEJÁRT.

Megoldás: Az n dobásból álló 2ⁿ számú lehetséges sorozat közül - melyek mindegyike ugyanolyan p(n)=1/2ⁿ valószínűséggel következik be - jelölje A(n) azoknak a számát, amelyekben nincs három egymást követő fej. Ezen belül jelölje A₀(n) azon sorozatok számát, amelyekben az utolsó dobás írás, A₁(n) és A₂(n) pedig azokét, ahol az utolsó két dobás rendre írás-fej, illetve fej-fej. Könnyen meggondolhatjuk, hogy A(1)=2, A(2)=4 és A(3)=7. Világos, hogy minden n-re

$A_0(n+1)=A(n)\quad \hbox{\rm \'es}\quad A_1(n+1)=A_0(n),$

valamint n $\ge$ 2 esetén

$A(n)=A_0(n)+A_1(n)+A_2(n)\quad \hbox{\rm \'es}\quad A_2(n+1)=A_1(n).$

Következésképpen minden n-re érvényes az

A(n+3)=A₀(n+3)+A₁(n+3)+A₂(n+3)=A(n+2)+A₀(n+2)+A₁(n+2)=

=A(n+2)+A(n+1)+A₀(n+1)=A(n+2)+A(n+1)+A(n)

összefüggés, amelynek segítségével A(12) értékét könnyen kiszámolhatjuk:

$A(4)=13,\ A(5)=24,\ A(6)=44,\ A(7)=81,\ A(8)=149,\ A(9)=274,$

$\ A(10)=504,\ A(11)=927, \quad \hbox{\rm \'es v\'eg\"ul}\quad A(12)=1705.$

A keresett valószínűség tehát

p(12)A(12)=1705/4096 $\approx$ 0,416.

Statisztika:

75 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 52 versenyző.

4 pontot kapott: 3 versenyző.

3 pontot kapott: 7 versenyző.

2 pontot kapott: 4 versenyző.

1 pontot kapott: 4 versenyző.

0 pontot kapott: 4 versenyző.

Nem versenyszerű: 1 dolgozat.

A KöMaL 2006. áprilisi matematika feladatai

75 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	52 versenyző.
4 pontot kapott:	3 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?