Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 3910. feladat (2006. április)

B. 3910. Adott az AB átmérőjű k kör. Vegyünk fel a kör belsejében egy E pontot. Az AE és a BE egyeneseknek a körrel alkotott másik metszéspontja C, illetve D. Bizonyítsuk be, hogy az AC.AE+BD.BE kifejezés értéke nem függ az E helyzetétől.

(4 pont)

A beküldési határidő 2006. május 18-án LEJÁRT.


Megoldás: Ha az E pont az AB szakaszon helyezkedik el, akkor AC=DB=AB, vagyis a kifejezés értéke AB(AE+BE)=AB2. Egyébként jelölje az AEB szöget \alpha. Thalesz tétele értelmében az ADE háromszög derékszögű, vagyis ED=AEcos (180o-\alpha)=-AEcos \alpha. Ugyanígy EC=-BEcos \alpha. Ezért a koszinusz-tétel alapján most is

AC.AE+BD.BE=(AE2+EC.AE)+(BE2+ED.BE)=

=AE2+BE2-2AE.BEcos \alpha=AB2.


Statisztika:

76 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:72 versenyző.
3 pontot kapott:2 versenyző.
2 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2006. áprilisi matematika feladatai