Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 3914. feladat (2006. május)

B. 3914. Az ABCD paralelogramma AB oldalának tetszőleges pontja P, a CD oldalának tetszőleges pontja pedig Q. Legyen a DP és AQ egyenesek metszéspontja M, a CP és BQ egyenesek metszéspontja pedig N. Mutassuk meg, hogy az MN egyenes átmegy a paralelogramma középpontján.

(4 pont)

A beküldési határidő 2006. június 15-én LEJÁRT.


Megoldás: Vezessük be azt az általános jelölést, hogy a paralelogramma O középpontjából az X csúcsba az x vektor mutat. Ekkor c=-a és d=-b. Tegyük fel, hogy a P pont az AB szakaszt \alpha:1-\alpha, a Q pont pedig a CD szakaszt \beta:1-\beta arányban osztja. Ekkor p=(1-\alpha)a+\alphab, és AP:QD=\alpha:1-\beta.

A párhuzamos szelők tétele miatt az M pont a PD szakaszt ugyanilyen arányban osztja, vagyis

m=\frac{1-\beta}{1-\beta+\alpha}p+\frac{\alpha}{1-\beta+\alpha}d=
\frac{(1-\alpha)(1-\beta)}{1-\beta+\alpha}a-
\frac{\alpha\beta}{1-\beta+\alpha}b.

A jelölések szimmetriáját felhasználva számolás nélkül is láthatjuk, hogy

n=\frac{(1-\alpha)(1-\beta)}{1-\alpha+\beta}c-
\frac{\alpha\beta}{1-\alpha+\beta}d=
-\frac{1-\beta+\alpha}{1-\alpha+\beta}m.

Az m,n vektorok tehát párhuzamosak, vagyis az O,M,N pontok valóban egy egyenesre esnek.


Statisztika:

41 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Almási 270 Gábor András, Balambér Dávid, Blázsik Zoltán, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Cseh Ágnes, Cséke Balázs, Cserép Gergely, Dányi Zsolt, Farkas Ádám László, Herber Máté, Honner Balázs, Károlyi Márton, Kiss 111 Viktor, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Mercz Béla, Mészáros Gábor, Nagy 235 János, Nagy 314 Dániel, Németh 007 Zsolt, Páldy Sándor, Peregi Tamás, Prőhle Zsófia, Salát Zsófia, Sárkány Lőrinc, Szabó 108 Tamás, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szirmai Péter, Szűcs Gergely, Ta Phuong Linh, Tallián György, Tossenberger Anna, Udvari Balázs, Véges Márton, Zieger Milán.
3 pontot kapott:Pásztor Attila, Szilágyi 987 Csaba.
1 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2006. májusi matematika feladatai