Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3916. feladat (2006. május)

B. 3916. Bizonyítsuk be, hogy a pozitív x, y számokra teljesül az

$\frac{x^2+xy+y^2}{3}\le \frac{x+y}{2}\cdot \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}$

egyenlőtlenség.

(3 pont)

A beküldési határidő 2006. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Négyzetre emeléssel az eredetivel ekvivalens

8(x²+xy+y²)² $\le$ 9(x+y)²(x²+y²)

egyenlőtlenséget kapjuk. A zárójeleket kibontva és rendezve azt

0 $\le$ x⁴+y⁴+2x³y+2xy³-6x²y²

alakra hozhatjuk. Mivel pedig a jobboldalon

(x²-y²)²+2xy(x-y)²

áll, az egyenlőtlenség nyilván teljesül, egyenlőség pedig pontosan az x=y esetben áll fenn.

109 dolgozat érkezett.

3 pontot kapott: 76 versenyző.

2 pontot kapott: 21 versenyző.

1 pontot kapott: 4 versenyző.

0 pontot kapott: 8 versenyző.