A B. 3935. feladat (2006. október)

B. 3935. Egy Hamlet előadáson több szerep párosítva van, például Gertrudis és a Színészkirálynő szerepét ketten is tudják. Az előadás előtt sorsolással döntik el, hogy kettejük közül ki játssza aznap a Színészkirálynőt, illetve Gertrudist. Hasonló sorsolással döntenek a további párok esetében is. Sári egyszer már látta az előadást, de a Gertrudis/Színészkirálynő, Claudius/Színészkirály, Ophelia/Fortinbras szerepeket a másik változatban is szeretné megnézni, bár nem feltétlenül egy előadáson. Hány előadásra váltson még jegyet, hogy legalább 90% legyen annak a valószínűsége, hogy mindhárom szerepet látja a másik szereposztásban is?

(4 pont)

A beküldési határidő 2006. november 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Tegyük fel, hogy Sári még n előadást néz meg. Nyilván minél nagyobb az n értéke, annál nagyobb annak a valószínűsége, hogy Sári mindhárom szerepet látja a másik szereposztásban is. Rögzítsük az egyik szereppárt (pl. Ophelia / Fortinbras). Annak valószínűsége, hogy ezt a párost minden alkalommal ugyanabban a leosztásban látja, mint először, nyilván 1/2ⁿ. Ez az A rossz esemény tehát P(A)=1/2ⁿ valószínűséggel következik be, akárcsak a másik két hasonló rossz esemény, melyet jelöljön B, illetve C. Annak a valószínűsége, hogy egyszerre két ilyen rossz esemény, mondjuk A és B is bekövetkezik, P(A $\cap$ B)=(1/2ⁿ)²=1/4ⁿ, annak pedig, hogy mind a három egyszerre bekövetkezik, P(A $\cap$ B $\cap$ C)=1/8ⁿ.

Annak a valószínűsége tehát, hogy egyik rossz esemény sem következik be, a logikai szitaformula szerint

1-P(A)-P(B)-P(C)+P(A $\cap$ B)+P(A $\cap$ C)+P(B $\cap$ C)-P(A $\cap$ B $\cap$ C).

Ez kell, hogy legalább 0,9 legyen. Ennek szükséges és elégséges feltétele

$3\cdot\frac{1}{2^n}-3\cdot\frac{1}{4^n}+\frac{1}{8^n}\le 0,1.$

Ha n=4, akkor a baloldal értéke

$\frac{3}{16}-\frac{3}{256}+\frac{1}{8^4}>\frac{3}{16}-\frac{1}{64}> \frac{2}{16}=\frac{1}{8}>0,1.$

Ha viszont n=5, akkor a megfelelő értékre már

$\frac{3}{32}-\frac{3}{2^{10}}+\frac{1}{2^{15}} <\frac{3}{32}<\frac{3}{30}=0,1$

adódik. Sárinak tehát még legalább 5 előadásra kell jegyet váltania.

Statisztika:

140 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: 75 versenyző.

3 pontot kapott: 16 versenyző.

2 pontot kapott: 2 versenyző.

1 pontot kapott: 13 versenyző.

0 pontot kapott: 34 versenyző.

A KöMaL 2006. októberi matematika feladatai

140 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	75 versenyző.
3 pontot kapott:	16 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	13 versenyző.
0 pontot kapott:	34 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?