Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3935. feladat (2006. október)

B. 3935. Egy Hamlet előadáson több szerep párosítva van, például Gertrudis és a Színészkirálynő szerepét ketten is tudják. Az előadás előtt sorsolással döntik el, hogy kettejük közül ki játssza aznap a Színészkirálynőt, illetve Gertrudist. Hasonló sorsolással döntenek a további párok esetében is. Sári egyszer már látta az előadást, de a Gertrudis/Színészkirálynő, Claudius/Színészkirály, Ophelia/Fortinbras szerepeket a másik változatban is szeretné megnézni, bár nem feltétlenül egy előadáson. Hány előadásra váltson még jegyet, hogy legalább 90% legyen annak a valószínűsége, hogy mindhárom szerepet látja a másik szereposztásban is?

(4 pont)

A beküldési határidő 2006. november 15-én LEJÁRT.


Megoldás. Tegyük fel, hogy Sári még n előadást néz meg. Nyilván minél nagyobb az n értéke, annál nagyobb annak a valószínűsége, hogy Sári mindhárom szerepet látja a másik szereposztásban is. Rögzítsük az egyik szereppárt (pl. Ophelia / Fortinbras). Annak valószínűsége, hogy ezt a párost minden alkalommal ugyanabban a leosztásban látja, mint először, nyilván 1/2n. Ez az A rossz esemény tehát P(A)=1/2n valószínűséggel következik be, akárcsak a másik két hasonló rossz esemény, melyet jelöljön B, illetve C. Annak a valószínűsége, hogy egyszerre két ilyen rossz esemény, mondjuk A és B is bekövetkezik, P(A\capB)=(1/2n)2=1/4n, annak pedig, hogy mind a három egyszerre bekövetkezik, P(A\capB\capC)=1/8n.

Annak a valószínűsége tehát, hogy egyik rossz esemény sem következik be, a logikai szitaformula szerint

1-P(A)-P(B)-P(C)+P(A\capB)+P(A\capC)+P(B\capC)-P(A\capB\capC).

Ez kell, hogy legalább 0,9 legyen. Ennek szükséges és elégséges feltétele

3\cdot\frac{1}{2^n}-3\cdot\frac{1}{4^n}+\frac{1}{8^n}\le 0,1.

Ha n=4, akkor a baloldal értéke

\frac{3}{16}-\frac{3}{256}+\frac{1}{8^4}>\frac{3}{16}-\frac{1}{64}>
\frac{2}{16}=\frac{1}{8}>0,1.

Ha viszont n=5, akkor a megfelelő értékre már

\frac{3}{32}-\frac{3}{2^{10}}+\frac{1}{2^{15}}
<\frac{3}{32}<\frac{3}{30}=0,1

adódik. Sárinak tehát még legalább 5 előadásra kell jegyet váltania.


Statisztika:

140 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:75 versenyző.
3 pontot kapott:16 versenyző.
2 pontot kapott:2 versenyző.
1 pontot kapott:13 versenyző.
0 pontot kapott:34 versenyző.

A KöMaL 2006. októberi matematika feladatai