Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 3970. feladat (2007. január)

B. 3970. Bizonyítsuk be, hogy egy egységnyi oldalú szabályos hétszög átlói hosszának harmonikus közepe 2.

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. február 15-én LEJÁRT.


Megoldás: Jelölje a másodszomszédos csúcsokat összekötő átlók hosszát x, a harmadszomszédosokat összekötőkét y. Mivel ugyanannyi x hosszúságú átló van, mint y hosszúságú, az összes átló harmonikus közepe ugyanannyi mint x és y harmonikus közepe, vagyis a bizonyítandó állítást x+y=xy alakban is felírhatjuk. A hétszög köré írható kör sugara r=1/2sin (\pi/7), továbbá x=2rsin (2\pi/7) és y=2rsin (3\pi/7). Behelyettesítés és sin2(\pi/7)-tel való beszorzás után a bizonyítandó állítást

\sin\frac{2\pi}{7}\sin\frac{\pi}{7}+
\sin\frac{3\pi}{7}\sin\frac{\pi}{7}=
\sin\frac{2\pi}{7}\sin\frac{3\pi}{7}

alakra hozhatjuk. A 2sin \alphasin \beta=cos (\alpha-\beta)-cos (\alpha+\beta) addíciós tétel szerint ez ekvivalens a

\Bigl(\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{3\pi}{7}\Bigr)+
\Bigl(\cos\frac{2\pi}{7}-\cos\frac{4\pi}{7}\Bigr)=
\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{5\pi}{7}

összefüggéssel, ami nyilvánvalóan érvényes, hiszen

\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{5\pi}{7}=
\cos\frac{3\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}=0.


Statisztika:

132 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:90 versenyző.
3 pontot kapott:4 versenyző.
2 pontot kapott:33 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
Nem versenyszerű:3 dolgozat.

A KöMaL 2007. januári matematika feladatai