Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 4034. feladat (2007. november)

B. 4034. Egy háromszög egyik oldalának felezőpontja F, egy másik oldalának harmadoló pontjai H1 és H2. A harmadik oldalt osszuk fel n egyenlő részre az N_1, N_2, \ldots, N_{n-1} pontokkal. Tekintsük az összes FHiNj háromszöget, ahol i=1,2, j=1,\ldots,n-1. Mutassuk meg, hogy ezen háromszögek közül bármelyiket kiválasztva, a megmaradtak között pontosan egy vele egyenlő területű van.

Javasolta: Káspári Tamás (Paks)

(3 pont)

A beküldési határidő 2007. december 17-én LEJÁRT.


I. megoldás: A harmadik oldal két végpontját jelölje N0 és Nn. Feltehetjük, hogy a jelölések úgy vannak megválasztva, hogy az N_0,N_1,\ldots,N_n pontok ebben a sorrendben követik egymást, továbbá H1 éppen az N0H2 szakasz felezőpontja. Ekkor az NiNi+1 szakaszok 0\lei<n mind ugyanolyan hosszúak. Ha a háromszög területe T, akkor könnyen belátható, hogy az N0H1F és az NnH2F háromszögek területe egyaránt T/6, az N0H2F és NnH1F háromszögeké pedig T/3.

Az NiH1F háromszögek H1F oldalhoz tartozó magasságai egy n+1 hosszúságú növekvő számtani sorozatot alkotnak, ennek megfelelően az NiH1F háromszögek területei egy olyan n+1 tagú növekvő számtani sorozatot alkotnak, melynek első eleme T/6, az utolsó pedig T/3. Legyen ez a sorozat an. Hasonlóképpen az NiH2F háromszögek területei egy olyan n+1 tagú csökkenő számtani sorozatot alkotnak, melynek első eleme T/3, az utolsó pedig T/6. Legyen ez a sorozat bn. A két számtani sorozat egyaránt (n+1) tagból áll, a1=bn+1, b1=an+1. Ezen két észrevételből következik, hogy ai=bn+2-i, ahonnan már következik az állítás.

II. megoldás: Az I. megoldás jelöléseit használjuk.

Vegyük észre, hogy tH2NjF\neqtH2NkF, ha j\neqk, hiszen mindkét háromszögben az egyik oldal H2F, viszont az ehhez az oldalhoz tartozó magasságok nem egyenlő hosszúak, hiszen H_2F\nparallel N_0N_n.

Ugyanígy tH1NjF\neqtH1NkF, ha j\neqk.

Ezután meg kell vizsgálni, hogy milyen j és i esetén lehet egyenlő tH2NjF és tH1NiF.

Jelöljük a háromszög területét T-vel, harmadik csúcsát pedig A-val. Ekkor:

t_{H_2N_jF}=T-t_{FN_jN_n}-t_{H_2N_0N_j}-t_{AH_2F}=T\left(1-\frac{n-j}{n}\cdot\frac12-\frac jn\cdot\frac23-\frac13\cdot\frac12\right),

hiszen pl. a H2N0Nj háromszögben N_0N_j=\frac{j}{n}\cdot N_0N_n és H_2N_0=\frac23\cdot AN_0, tehát a háromszög területe \frac{j}{n}\cdot \frac23-szorosa AN0Nn területének, mert a megfelelő két oldal álatal bezárt szög megegyezik, így a területek aránya az oldalak arányának a szorzatával egyenlő.

Hasonlóan:

t_{H_1N_iF}=T-t_{FN_iN_n}-t_{H_1N_0N_i}-t_{AH_1F}=T\left(1-\frac{n-i}{n}\cdot\frac12-\frac in\cdot\frac13-\frac23\cdot\frac12\right).

t_{H_2N_jF}=t_{H_1N_iF}\Longleftrightarrow

T\left(1-\frac{n-j}{n}\cdot\frac12-\frac jn\cdot\frac23-\frac13\cdot\frac12\right)=T\left(1-\frac{n-i}{n}\cdot\frac12-\frac in\cdot\frac13-\frac23\cdot\frac12\right)\Longleftrightarrow

\frac{-3n+3j-4j-n}{6}=\frac{-3n+3i-2i-2n}{6}\Longleftrightarrow

-j+n=i.

Tehát valóban mindig egy megfelelő háromszög van.


Statisztika:

102 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:70 versenyző.
2 pontot kapott:18 versenyző.
1 pontot kapott:11 versenyző.
0 pontot kapott:3 versenyző.

A KöMaL 2007. novemberi matematika feladatai