Problem B. 4053. (January 2008)

B. 4053. The sequence $a_1, a_2, \ldots$ of integers has infinitely many positive terms and infinitely many negative terms. For every n, the remainders of $a_1, a_2, \ldots, a_n$ divided by n are pairwise different. How many times does the number 2008 occur in the sequence?

(4 pont)

Deadline expired on February 15, 2008.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Ha valamely i<j esetén a_i=a_j, akkor n $\ge$ j esetén nem teljesül a feltétel, tehát minden egész szám legfeljebb egyszer szerepelhet a sorozatban. Ha az $a_1,a_2,\ldots,a_k$ számok között van kettő, melyek különbsége a_j-a_i=n $\ge$ k, akkor a feltétel megintcsak nem teljesül. Az eddig elmondottakból világos, hogy minden k-ra teljesül, hogy az $\{a_1,a_2,\ldots,a_k\}$ halmaz k egymást követő egész számból áll. Mivel a sorozat végtelen sok (mint láttuk különböző) pozitív egészt tartalmaz, kell legyen ezek között olyan, melyre a_i $\ge$ 2008. A sorozatnak van ezen kívül egy a_n negatív eleme is, ahol n>i. Az $\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$ halmazban ezek szerint a 2008 számnak mindenképpen szerepelnie kell, vagyis az a sorozatban pontosan egyszer szerepel (és ez 2008 helyett bármely egész számról elmondható).

Statistics:

56 students sent a solution.

4 points: Ágoston Tamás, Bodor Bertalan, Éles András, Fonyó Dávid, Grósz Dániel, Huszár Kristóf, Kalina Kende, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Kiss 716 Eszter, Kovács 999 Noémi, Márkus Bence, Mészáros András, Nagy 648 Donát, Szőke Nóra, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Tubak Dániel, Varga 171 László, Véges Márton, Zieger Milán.

3 points: Aczél Gergely, Aujeszky Tamás, Blázsik Zoltán, Nguyen Milán, Palincza Richárd, Szabó 895 Dávid.

2 points: 15 students.

1 point: 11 students.

0 point: 3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2008

56 students sent a solution.
4 points:	Ágoston Tamás, Bodor Bertalan, Éles András, Fonyó Dávid, Grósz Dániel, Huszár Kristóf, Kalina Kende, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Kiss 716 Eszter, Kovács 999 Noémi, Márkus Bence, Mészáros András, Nagy 648 Donát, Szőke Nóra, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Tubak Dániel, Varga 171 László, Véges Márton, Zieger Milán.
3 points:	Aczél Gergely, Aujeszky Tamás, Blázsik Zoltán, Nguyen Milán, Palincza Richárd, Szabó 895 Dávid.
2 points:	15 students.
1 point:	11 students.
0 point:	3 students.

Already signed up?
New to KöMaL?