Problem B. 4056. (January 2008)

B. 4056. The orthocentre of an acute-angled triangle is M, the centre of its circumscribed circle is O, and its sides are a<b<c. The line of side c, the line of the altitude drawn to side b, and the line MO form a triangle that is similar to the original triangle but with opposite orientation. Find the angles of the triangle.

Suggested by J. Bodnár, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on February 15, 2008.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A szokásos jelölésekkel élve, a háromszög szögeire $\alpha$ < $\beta$ < $\gamma$ teljesül. Mivel a háromszög hegyesszögű, az ABM szög kisebb mint $\beta$ . A feladatban megkonstruált háromszögnek ez a szöge tehát csak $\alpha$ lehet. A fordított körüljárási irány miatt ebből adódóan a BMO szög kell, hogy $\gamma$ -val legyen egyenlő. A BM magasság talppontját Y-nal jelölve kapjuk, hogy az ABY derékszögű háromszög mindkét hegyesszöge $\alpha$ , ahonnan $\alpha$ =45^o. Az AC oldal felezőpontját F-fel jelölve pedig

$\tg\gamma=\frac{AY-AF}{OF-MY}$

írható fel. Mivel AMY és BCY merőleges szárú szögek lévén az AMY szög is $\gamma$ , kapjuk, hogy AY=MYtg $\gamma$ , vagyis a fenti összefüggést 2AY=AF+OFtg $\gamma$ alakra hozhatjuk. Figyelembe véve, hogy $AY=c\cos\alpha=c/\sqrt{2}$ , AF=b/2, valamint hogy az AOF szög nagysága $\beta$ , innen

$\sqrt{2}c=\frac{b}{2}\Bigl(1+\frac{\tg\gamma}{\tg\beta}\Bigr)$

adódik. 2tg $\beta$ -val bővítve, a szinusz-tétel alkalmazásával kapjuk, hogy

$2\sqrt{2}\sin\gamma\tg\beta=\sin\beta(\tg\beta+\tg\gamma).$

A cos $\beta$ cos $\gamma$ közös nevezővel felszorozva, sin $\beta$ -val történő egyszerűsítés után

$2\sqrt{2}\sin\gamma\cos\gamma=\sin\beta\cos\gamma+\sin\gamma\cos\beta= \sin(\beta+\gamma)=\sin\alpha=1/\sqrt{2},$

ahonnan sin 2 $\gamma$ =2sin $\gamma$ cos $\gamma$ =1/2, 2 $\gamma$ =150^o, $\gamma$ =75^o, és végül $\beta$ =60^o adódik.

Statistics:

36 students sent a solution.

4 points: Blázsik Zoltán, Csere Kálmán, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Gyurcsik Judit, Kiss 902 Melinda Flóra, Lovas Lia Izabella, Müller Márk, Perjési Gábor, Salát Zsófia, Somogyi Ákos, Szalai Zsófia, Szalkai Balázs, Tossenberger Anna, Véges Márton, Weisz Ágoston.

3 points: Dinh Van Anh, Márki Róbert.

2 points: 15 students.

1 point: 2 students.

0 point: 1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2008

36 students sent a solution.
4 points:	Blázsik Zoltán, Csere Kálmán, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Gyurcsik Judit, Kiss 902 Melinda Flóra, Lovas Lia Izabella, Müller Márk, Perjési Gábor, Salát Zsófia, Somogyi Ákos, Szalai Zsófia, Szalkai Balázs, Tossenberger Anna, Véges Márton, Weisz Ágoston.
3 points:	Dinh Van Anh, Márki Róbert.
2 points:	15 students.
1 point:	2 students.
0 point:	1 student.

Already signed up?
New to KöMaL?