Problem B. 4058. (January 2008)

B. 4058. The angles of a triangle are $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ . What is the largest possible value of sin $\alpha$ sin $\beta$ cos $\gamma$ +sin² $\gamma$ ?

(4 pont)

Deadline expired on February 15, 2008.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Felhasználva, hogy sin $\gamma$ =sin ( $\alpha$ + $\beta$ ) és cos $\gamma$ =-cos ( $\alpha$ + $\beta$ ), az addíciós képletek alapján

F=sin $\alpha$ sin $\beta$ cos $\gamma$ +sin² $\gamma$ =

=-sin $\alpha$ sin $\beta$ (cos $\alpha$ cos $\beta$ -sin $\alpha$ sin $\beta$ )+(sin $\alpha$ cos $\beta$ +cos $\alpha$ sin $\beta$ )²=

=sin² $\alpha$ sin² $\beta$ +sin² $\alpha$ cos² $\beta$ +cos² $\alpha$ sin² $\beta$ +sin $\alpha$ sin $\beta$ cos $\alpha$ cos $\beta$ .

A trigonometrikus Pithagorasz-tétel alapján (sin² $\alpha$ +cos² $\alpha$ )(sin² $\beta$ +cos² $\beta$ )=1, vagyis

F=1-cos² $\alpha$ cos² $\beta$ +sin $\alpha$ sin $\beta$ cos $\alpha$ cos $\beta$ =

=1+cos $\alpha$ cos $\beta$ (sin $\alpha$ sin $\beta$ -cos $\alpha$ cos $\beta$ )=1+cos $\alpha$ cos $\beta$ cos $\gamma$ .

Ez a kifejezés pontosan akkor lesz 1-nél nagyobb, ha a háromszög hegyesszögű. Mivel a cos x függvény a (0, $\pi$ /2) intervallumon pozitív és alulról konkáv, a számtani és mértani közepek között fennálló egyenlőtlenség, valamint a Jensen-egyenlőtlenség szerint

$F\le 1+\Bigl(\frac{\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma}{3}\Bigr)^3\le 1+\cos\Bigl(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}\Bigr)^3=1+\cos^360^\circ= \frac{9}{8},$

egyenlőség pedig pontosan akkor áll fenn, ha a háromszög szabályos.

Statistics:

80 students sent a solution.

4 points: Aczél Gergely, Balázs Barbara Anna, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Börcsök Bence, Cséke Balázs, Dinh Hoangthanh Attila, Dinh Van Anh, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Fonyó Dávid, Földi Sándor, Frankl Nóra, Gele Viktória, Gyurcsik Judit, Horváth 385 Vanda, Huszár Kristóf, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Konkoly 001 Csaba, Lamm Éva, Lovas Lia Izabella, Márki Róbert, Márkus Bence, Mészáros András, Mihálykó Ágnes, Nagy 648 Donát, Nguyen Sy Bang, Peregi Tamás, Perjési Gábor, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Szabó 895 Dávid, Szalai Szilárd, Szalkai Balázs, Szigetvári Áron, Szirmay-Kalos Barnabás, Szórádi Márk, Ta Phuong Linh, Tossenberger Anna, Tubak Dániel, Varga 171 László, Véges Márton, Wagner Zsolt, Weisz Ágoston, Zsupanek Alexandra.

3 points: 15 students.

2 points: 7 students.

1 point: 7 students.

0 point: 4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2008

80 students sent a solution.
4 points:	Aczél Gergely, Balázs Barbara Anna, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Börcsök Bence, Cséke Balázs, Dinh Hoangthanh Attila, Dinh Van Anh, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Fonyó Dávid, Földi Sándor, Frankl Nóra, Gele Viktória, Gyurcsik Judit, Horváth 385 Vanda, Huszár Kristóf, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Konkoly 001 Csaba, Lamm Éva, Lovas Lia Izabella, Márki Róbert, Márkus Bence, Mészáros András, Mihálykó Ágnes, Nagy 648 Donát, Nguyen Sy Bang, Peregi Tamás, Perjési Gábor, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Szabó 895 Dávid, Szalai Szilárd, Szalkai Balázs, Szigetvári Áron, Szirmay-Kalos Barnabás, Szórádi Márk, Ta Phuong Linh, Tossenberger Anna, Tubak Dániel, Varga 171 László, Véges Márton, Wagner Zsolt, Weisz Ágoston, Zsupanek Alexandra.
3 points:	15 students.
2 points:	7 students.
1 point:	7 students.
0 point:	4 students.

Already signed up?
New to KöMaL?