A B. 4072. feladat (2008. március)

B. 4072. Jelölje S(n) az n természetes szám számjegyeinek az összegét. Mutassuk meg, hogy végtelen sok olyan nem 0-ra végződő n természetes szám van, amelyre S(n²)=S(n).

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2008. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Minden k természetes számra n=10^k-1 megfelelő lesz. Ekkor ugyanis egyrészt n olyan k-jegyű szám, amelynek minden számjegye 9-es, vagyis S(n)=9k. Másrészt

n²=10^2k-2^.10^k+1=10^k(10^k-2)+1,

vagyis S(n²)=S(10^k-2)+1. Itt 10^k-2 az a k-jegyű szám, amelynek minden számjegye 9-es, kivéve az utolsót, ami 8-as. Ezért S(10^k-2)=9(k-1)+8, S(n²)=9(k-1)+8+1=9k=S(n).

Statisztika:

118 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	112 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2008. márciusi matematika feladatai