A B. 4073. feladat (2008. március)

B. 4073. Keressük meg az összes olyan derékszögű háromszöget, amelynek oldalai egész számok, és az átfogóhoz 6-ot hozzáadva a befogók összegét kapjuk.

(3 pont)

A beküldési határidő 2008. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Az átfogót c-vel, a befogókat a,b-vel jelölve a feltétel c+6=a+b, vagyis c²=(a+b-6)². A zárójelet kibontva c²=a²+b² figyelembevételével ezt így rendezhetjük: 2ab-12a-12b+36=0. 2-vel leosztva szorzattá alakítás után (a-6)(b-6)=18 adódik. A 18-at a következő hat módon lehet egész számok szorzatára felbontani:

18=1^.18=2^.9=3^.6=(-1)^.(-18)=(-2)^.(-9)=(-3)^.(-6).

Mivel a-6 és b-6 értéke is legalább -5, csak az első három esetet kell megvizsgálnunk. Mivel a és b szerepe szimmetrikus, a szóba jövő befogópárok (7,24), (8,15) és (9,12). Ezek mindegyikéből kapunk is egy-egy megoldást, a megfelelő átfogók rendre 25, 17, illetve 15 lesznek.

Statisztika:

163 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	106 versenyző.
2 pontot kapott:	42 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2008. márciusi matematika feladatai