Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4076. feladat (2008. március)

B. 4076. Nóra és Kristóf a következő játékot játsszák: egy adott ABC háromszög AB oldalán Nóra kijelöl egy N1 pontot. Ezután Kristóf választ egy K pontot a BC oldalon. Végül Nóra jelöl meg egy N2 pontot a CA oldalon. Nóra arra törekszik, hogy az N1KN2 háromszög területe a lehető legnagyobb, Kristóf pedig arra, hogy a lehető legkisebb legyen. Mekkora lesz az N1KN2 háromszög területe, ha mindketten a lehető legügyesebben játszanak?

(4 pont)

A beküldési határidő 2008. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Ha N1=A, vagy N1=B akkor könnyű látni, hogy Kristóf a K pont C-hez, illetve B-hez elegendően közeli megválasztásával elérheti, hogy az N1KN2 háromszög területe 0-hoz tetszőlegesen közel legyen. Ha az N1 pont az AB oldalt \alpha:(1-\alpha) arányban osztja, ahol 0<\alpha<1, akkor a K pont azon választása mellett, mely a CB oldalt \alpha:(1-\alpha) arányban osztja, az N1KN2 háromszög területe éppen az ABC háromszög területének \alpha(1-\alpha)-szorosa lesz, bármi is legyen az N2 pont. Mivel \alpha(1-\alpha)\le1/4, az ABC háromszög területének egynegyédénél nagyobb érték nem érhető el.

Ez azonban el is érhető, ha Nóra N1-nek az AB oldal F felezőpontját választja, ekkor ugyanis Kristóf K-nak mindenképpen a CB oldal G felezőpontját fogja választani. Valóban, ha K a G-től a C irányába esne, akkor N2=A mellett az N1KN2=AKF háromszög területe nagyobb lenne az ABC háromszög területének egynegyédénél, ha pedig a B irányába esne, akkor az N2=C választással érhetné el Nóra ugyanezt.

Statisztika:

74 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:51 versenyző.
3 pontot kapott:8 versenyző.
2 pontot kapott:9 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2008. márciusi matematika feladatai