Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4097. feladat (2008. május)

B. 4097. Oldjuk meg az alábbi egyenletet az egész számok körében:

$2^{\frac{x-y}{y}} - \frac{3}{2}y = 1.$

(4 pont)

A beküldési határidő 2008. június 16-án LEJÁRT.

Megoldás: Nyilván y nem lehet 0. 2-vel való beszorzás és átrendezés után az egyenletet 2^x/y=3y+2=z alakra hozhatjuk, ahol z (pozitív) egész szám. Innen azt kapjuk, hogy y is pozitív egész, és 2^x=z^y. A számelmélet alaptétele miatt z 2-hatvány, x pedig olyan pozitív egész, amely osztható y-nal. Mivel 2-nek páros kitevős hatványai 3-mal osztva 1, páratlan kitevős hatványai pedig 3-mal osztva 2 maradékot adnak, x/y páratlan szám. Lévén z $\ge$ 5, kapjuk, hogy x=(2k+1)y alkalmas k pozitív egész számmal, ahonnan

$y=\frac{2^{2k+1}-2}{3}=\frac{2(4^k-1)}{3} \quad \hbox{\rm \'es}\quad x=\frac{(4k+2)(4^k-1)}{3}.$

Könnyen látható, hogy így minden k pozitív egészre egy megfelelő számpárt kapunk.

Statisztika:

107 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: 83 versenyző.

3 pontot kapott: 12 versenyző.

2 pontot kapott: 6 versenyző.

1 pontot kapott: 2 versenyző.

0 pontot kapott: 4 versenyző.

A KöMaL 2008. májusi matematika feladatai

107 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	83 versenyző.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.