Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4100. feladat (2008. május)

B. 4100. Hány részre osztják a síkot egy szabályos n-szög oldalegyenesei?

(4 pont)

A beküldési határidő 2008. június 16-án LEJÁRT.


Megoldás: Helyezzük el az oldalegyeneseket egymás után a síkon, figyelemmel kísérve azt, hogy az általuk meghatározott tartományok száma hogyan változik. Kezdetben ez a szám 1, ami az első egyenes elhelyezése után 1-gyel nő. Amikor egy-egy új egyenest elhelyezünk, akkor a tartományok száma (k+1)-gyel nő, ahol k azon, már korábban elhelyezett egyenesek száma, amelyeket az éppen elhelyezett egyenes elmetsz. Ez azért van így, mert egy konvex sokszög oldalegyenesei közül semelyik három nem megy át egy ponton.

Ha n páratlan, akkor az oldalegyenesek közül semelyik kettő nem párhuzamos egymással, ezért az i-edik egyenes elhelyezése alkalmával a tartományok száma pontosan i-vel nő, vagyis az összes egyenes elhelyezése után a tartományok száma

1+(1+2+3+\ldots+n)=\frac{n^2+n+2}{2}

lesz, ennyi részre osztják tehát a szabályos n-szög oldalegyenesei a síkot.

Páros n esetén más a helyzet. Legyen n=2k, és először helyezzük el valamilyen körüljárás szerint az első k oldalegyenest. Mivel ezek közül semelyik kettő nem párhuzamos egymással, az ezután létrejövő tartományok száma 1+(1+2+\ldots+ k) lesz. Ezt követően azonban bármelyik egyenest is helyezzük el, az a korábban elhelyezettek közül pontosan eggyel lesz párhuzamos. Ebben az esetben tehát az egyenesek összesen

1+(1+2+\ldots+k)+(k+\ldots +2k-1)=1+k\cdot2k=\frac{n^2+2}{2}

részre fogják osztani a síkot.


Statisztika:

64 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:51 versenyző.
3 pontot kapott:5 versenyző.
2 pontot kapott:3 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2008. májusi matematika feladatai