A B. 4100. feladat (2008. május)

B. 4100. Hány részre osztják a síkot egy szabályos n-szög oldalegyenesei?

(4 pont)

A beküldési határidő 2008. június 16-án LEJÁRT.

Megoldás: Helyezzük el az oldalegyeneseket egymás után a síkon, figyelemmel kísérve azt, hogy az általuk meghatározott tartományok száma hogyan változik. Kezdetben ez a szám 1, ami az első egyenes elhelyezése után 1-gyel nő. Amikor egy-egy új egyenest elhelyezünk, akkor a tartományok száma (k+1)-gyel nő, ahol k azon, már korábban elhelyezett egyenesek száma, amelyeket az éppen elhelyezett egyenes elmetsz. Ez azért van így, mert egy konvex sokszög oldalegyenesei közül semelyik három nem megy át egy ponton.

Ha n páratlan, akkor az oldalegyenesek közül semelyik kettő nem párhuzamos egymással, ezért az i-edik egyenes elhelyezése alkalmával a tartományok száma pontosan i-vel nő, vagyis az összes egyenes elhelyezése után a tartományok száma

$1+(1+2+3+\ldots+n)=\frac{n^2+n+2}{2}$

lesz, ennyi részre osztják tehát a szabályos n-szög oldalegyenesei a síkot.

Páros n esetén más a helyzet. Legyen n=2k, és először helyezzük el valamilyen körüljárás szerint az első k oldalegyenest. Mivel ezek közül semelyik kettő nem párhuzamos egymással, az ezután létrejövő tartományok száma $1+(1+2+\ldots+ k)$ lesz. Ezt követően azonban bármelyik egyenest is helyezzük el, az a korábban elhelyezettek közül pontosan eggyel lesz párhuzamos. Ebben az esetben tehát az egyenesek összesen

$1+(1+2+\ldots+k)+(k+\ldots +2k-1)=1+k\cdot2k=\frac{n^2+2}{2}$

részre fogják osztani a síkot.

Statisztika:

64 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: 51 versenyző.

3 pontot kapott: 5 versenyző.

2 pontot kapott: 3 versenyző.

1 pontot kapott: 3 versenyző.

0 pontot kapott: 2 versenyző.

A KöMaL 2008. májusi matematika feladatai

64 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	51 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?