 |
A B. 4104. feladat (2008. szeptember) |
B. 4104. Keressünk olyan a, b, c számokat, amelyekre minden pozitív egész n esetén teljesül az
(n+3)2=a.(n+2)2+b.(n+1)2+c.n2
egyenlőség.
(3 pont)
A beküldési határidő 2008. október 15-én LEJÁRT.
Megoldás: Mivel (n+3)2=n2+6n+9 és
a.(n+2)2+b.(n+1)2+c.n2=(a+b+c).n2+(4a+2b).n+(4a+b),
azonossághoz jutunk, ha az a,b,c számokra a+b+c=1, 4a+2b=6 és 4a+b=9 egyidejűleg fennáll. Az így kapott egyenletrendszert megoldva látható tehát, hogy ha a=3, b=-3, c=1, akkor a feladatban megfogalmazott összefüggés nemcsak hogy minden n pozitív egész szám esetén, hanem bármely n valós szám esetén is teljesül. Azt is meg lehet mutatni, hogy ez az egyetlen megfelelő számhármas.
Statisztika:
284 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 124 versenyző. 2 pontot kapott: 140 versenyző. 1 pontot kapott: 13 versenyző. 0 pontot kapott: 7 versenyző.
A KöMaL 2008. szeptemberi matematika feladatai