Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4104. feladat (2008. szeptember)

B. 4104. Keressünk olyan a, b, c számokat, amelyekre minden pozitív egész n esetén teljesül az

(n+3)2=a.(n+2)2+b.(n+1)2+c.n2

egyenlőség.

(3 pont)

A beküldési határidő 2008. október 15-én LEJÁRT.


Megoldás: Mivel (n+3)2=n2+6n+9 és

a.(n+2)2+b.(n+1)2+c.n2=(a+b+c).n2+(4a+2b).n+(4a+b),

azonossághoz jutunk, ha az a,b,c számokra a+b+c=1, 4a+2b=6 és 4a+b=9 egyidejűleg fennáll. Az így kapott egyenletrendszert megoldva látható tehát, hogy ha a=3, b=-3, c=1, akkor a feladatban megfogalmazott összefüggés nemcsak hogy minden n pozitív egész szám esetén, hanem bármely n valós szám esetén is teljesül. Azt is meg lehet mutatni, hogy ez az egyetlen megfelelő számhármas.


Statisztika:

285 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:125 versenyző.
2 pontot kapott:140 versenyző.
1 pontot kapott:13 versenyző.
0 pontot kapott:7 versenyző.

A KöMaL 2008. szeptemberi matematika feladatai