Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4107. feladat (2008. szeptember)

B. 4107. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a pozitív számok körében:

x4+y4-x2y2=13,

x2-y2+2xy=1.

(4 pont)

A beküldési határidő 2008. október 15-én LEJÁRT.


Megoldás: A második egyenletből adódó x2-y2=1-2xy összefüggést négyzetre emelve kapjuk, hogy x4+y4-2x2y2=4x2y2-4xy+1. Ezt az első egyenletből kivonva az 5x2y2-4xy-12=0 összefüggést nyerjük. Az xy-ra kapott másodfokú egyenlet gyökei xy=2, illetve xy=-6/5, mely utóbbi xy>0 miatt nem jöhet szóba. A x2=u, y2=v helyettesítéssel tehát u2+v2=17 és u-v=-3. Innen u=v-3, vagyis (v-3)2+v2=17, 2v2-6v-8=0, tehát v lehetséges értékei 4 és -1, mely utóbbi v=y2>0 miatt nem jöhet szóba. Ezért y2=v=4 és x2=u=1, ahonnan x=1 és y=2 adódik, mely számpár az egyenletrendszert valóban ki is elégíti.


Statisztika:

222 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:157 versenyző.
3 pontot kapott:30 versenyző.
2 pontot kapott:20 versenyző.
1 pontot kapott:8 versenyző.
0 pontot kapott:5 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

A KöMaL 2008. szeptemberi matematika feladatai