Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4113. feladat (2008. október)

B. 4113. Bizonyítsuk be, hogy ha a, b, c, d egészek és a+b+c+d=0, akkor 2(a4+b4+c4+d4)+8abcd négyzetszám.

(4 pont)

A beküldési határidő 2008. november 17-én LEJÁRT.


Megoldás: Vegyük észre, hogy

(a+b+c+d)(a+b-c-d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)=

=\bigl( (a+b)^2-(c+d)^2 \bigr) \bigl( (a-b)^2-(c-d)^2 \bigr)=

=(a2+b2-c2-d2+2ab-2cd)(a2+b2-c2-d2-2ab+2cd)=

=(a2+b2-c2-d2)2-(2ab-2cd)2=

=a4+b4+c4+d4-2a2b2-2a2c2-2a2d2-2b2c2-2b2d2-2c2d2+8abcd.

Ezt a 0-val egyenlő számot az S=2(a4+b4+c4+d4)+8abcd számból kivonva kapjuk, hogy

S=a4+b4+c4+d4+2a2b2+2a2c2+2a2d2+2b2c2+2b2d2+2c2d2=

=(a2+b2+c2+d2)2,

ami valóban egy egész szám négyzete.


Statisztika:

114 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:97 versenyző.
3 pontot kapott:4 versenyző.
2 pontot kapott:2 versenyző.
1 pontot kapott:4 versenyző.
0 pontot kapott:7 versenyző.

A KöMaL 2008. októberi matematika feladatai