A B. 4123. feladat (2008. november)

B. 4123. Mi azon pontok mértani helye a síkon, amelyeknek két adott ponttól vett távolságának négyzetösszege állandó?

(3 pont)

A beküldési határidő 2008. december 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Legyen a két adott pont F₁ és F₂. Az F₁F₂ szakasz felezőpontját jelölje O, a szakasz hossza pedig legyen 2f. Vegyünk fel egy derékszögű koordinátarendszert, melyben F₁ koordinátái (-f,0), az F₂ ponté pedig (f,0), ekkor az O pont éppen az origóba esik. A P(x,y) pont pontosan akkor tartozik a mértani helyhez, ha

PF₁²+PF₂²=(x+f)²+y²+(x-f)²+y²=2(x²+y²+f²)

a megadott c állandóval egyenlő. Innen leolvasható, hogy c<2f² esetén a mértani hely üres, c=2f² esetén a mértani hely egyedül az O pontból áll, c>2f² esetén pedig az O középpontú sugarú körvonallal egyezik meg.

Statisztika:

150 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	73 versenyző.
2 pontot kapott:	18 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	52 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

A KöMaL 2008. novemberi matematika feladatai