A B. 4170. feladat (2009. március)

B. 4170. Egy sík az ABCD tetraéder AB, BC, CD, illetve AD éleit rendre a K, L, M és N pontokban metszi. Igazoljuk, hogy

$\frac{AK}{AB} \cdot \frac{BL}{BC} \cdot \frac{CM}{CD} \cdot \frac{DN}{AD} \le\frac{1}{16}\,.$

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás: A csúcsoknak a síktól vett távolságát jelölje rendre értelemszerűen d_A,d_B,d_C,d_D. Ekkor

$\frac{BK}{AK}\cdot\frac{CL}{BL}\cdot\frac{DM}{CM}\cdot\frac{AN}{DN}= \frac{d_B}{d_A}\cdot\frac{d_C}{d_B} \cdot\frac{d_D}{d_C}\cdot\frac{d_A}{d_D}=1.$

Ezért

$\frac{AB}{AK}\cdot\frac{BC}{BL}\cdot\frac{CD}{CM}\cdot\frac{DA}{DN}= \left(1+\frac{BK}{AK}\right)\left(1+\frac{CL}{BL}\right) \left(1+\frac{DM}{CM}\right)\left(1+\frac{AN}{DN}\right)$

miatt elég azt megmutatni, hogy ha az a,b,c,d pozitív számok szorzata 1, akkor (1+a)(1+b)(1+c)(1+d) $\ge$ 16. A számtani és mértani közepek között fennálló egyenlőtlenségek alapján azonban

$a+b+c+d\ge 4\root{4}\of{abcd}=4,$

ab+ac+ad+bc+bd+cd $\ge$ 6,

abc+abd+acd+bcd $\ge$ 4.

Ezek összegéhez a nyilvánvaló 1+abcd $\ge$ 2 egyenlőtlenséget is hozzáadva kapjuk a bizonyítandó egyenlőtlenséget. Mivel ebben egyenlőség kizárólag az a=b=c=d=1 esetben áll fenn, az eredeti feladatban is csak akkor érvényes egyenlőség, ha a K,L,M,N pontok a megfelelő élek felezőpontjai (melyek valóban egy síkban helyezkednek el).

Statisztika:

27 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Huszár Kristóf, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Mester Márton, Mezei Márk, Nagy 648 Donát, Németh Bence, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Tuan Nhat Le, Varga 171 László, Varju 105 Tamás, Weisz Ágoston.

4 pontot kapott: Bálint Dániel, Éles András, Neukirchner Elisabeth, Szenczi Zoltán.

3 pontot kapott: 2 versenyző.

1 pontot kapott: 1 versenyző.

0 pontot kapott: 1 versenyző.

Nem versenyszerű: 1 dolgozat.

A KöMaL 2009. márciusi matematika feladatai

27 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Huszár Kristóf, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Mester Márton, Mezei Márk, Nagy 648 Donát, Németh Bence, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Tuan Nhat Le, Varga 171 László, Varju 105 Tamás, Weisz Ágoston.
4 pontot kapott:	Bálint Dániel, Éles András, Neukirchner Elisabeth, Szenczi Zoltán.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?