Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4182. feladat (2009. május)

B. 4182. Egy t területű derékszögű háromszög átfogójának végpontjai egy ellipszis fókuszpontjaiba esnek, harmadik csúcsa pedig az ellipszisre illeszkedik. Igazoljuk, hogy az ellipszis területe legalább \sqrt{2}\pi t.

(3 pont)

A beküldési határidő 2009. június 15-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyenek a háromszög befogói a és b, az ellipszis fókuszpontjai F1,F2, középpontja O, nagy-, illetve kistengelyének egyik végpontja pedig N és K. Az ellipszis mértani helyként történő megadása alapján az ellipszis nagytengelye n=F1N+F2N=a+b, a kistengely hosszát pedig az F1OK derékszögű háromszögből így számolhatjuk ki: F_1O=\sqrt{a^{2}+b^{2}}/2, F1K=(a+b)/2, k=2OK=2\sqrt{F_1K2-F_1O2}=\sqrt{2ab}. Így a számtani- és mértani közepek között fennálló egyenlőtlenség alapján az ellipszis területe

T=\frac{\pi}{4}nk\ge \frac{\pi}{4}\cdot2\sqrt{ab}\cdot\sqrt{2ab}=\frac{\pi}{\sqrt{2}}\cdot ab=\sqrt{2}\pi t,

ahol egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha a háromszög egyenlő szárú.


Statisztika:

71 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:56 versenyző.
2 pontot kapott:2 versenyző.
1 pontot kapott:5 versenyző.
0 pontot kapott:4 versenyző.
Nem versenyszerű:4 dolgozat.

A KöMaL 2009. májusi matematika feladatai