Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 4194. feladat (2009. szeptember)

B. 4194. Egy háromszög C csúcsánál levő szöge derékszög. A C-hez tartozó szögfelező és magasság a köré írt kört a D, illetve az E pontban metszi. A háromszög nem rövidebbik befogója b. Igazoljuk, hogy a CDE töröttvonal hossza b\sqrt{2}.

(4 pont)

A beküldési határidő 2009. október 12-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen a körülírt kör átmérője egységnyi, a \(\displaystyle b\) befogó melleti szög pedig \(\displaystyle \alpha\le 45^\circ\). Mivel az átfogó éppen a kör átmérője, \(\displaystyle b=\cos\alpha\).

Az ábra jelöléseit használva, a \(\displaystyle BCD\) és a \(\displaystyle BAD\) szög egyaránt \(\displaystyle 45^\circ\)-os, vagyis a \(\displaystyle CD\) húr az \(\displaystyle A\) pontból \(\displaystyle 45^\circ+\alpha\), az \(\displaystyle ED\) húr pedig a \(\displaystyle C\) pontból \(\displaystyle 45^\circ-\alpha\) szög alatt látszik. Ezért valóban

\(\displaystyle CD+DE=\sin(45^\circ+\alpha)+\sin(45^\circ-\alpha)=2\sin45^\circ\cos\alpha= \sqrt{2}\cos\alpha=b\sqrt{2}.\)


Statisztika:

138 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:127 versenyző.
3 pontot kapott:7 versenyző.
2 pontot kapott:1 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2009. szeptemberi matematika feladatai